2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сигма-алгебры
Сообщение02.04.2006, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Легко показать, что всякая конечная $\sigma$-алгебра состоит из $2^n$ элементов. Если $\sigma$-алгебра бесконечна, то ее мощность не меньше $2^{\aleph_0}$. Верно ли, что всякая $\sigma$-алгебра имеет мощность вида $2^{c}$, где $c$ --- некоторый кардинал?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2006, 11:33 


06/03/06
150
не верно.

Для любого кардинала $\tau$ существует $\sigma$-алгебра мощности $\tau^{\aleph_0}$. Эта $\sigma$-алгебра, порожденная одноточечными подмножествами множества мощности $\tau$.

Скорее всего, для мощности $\tau$ $\sigma$-алгебры верно $\tau^{\aleph_0}=\tau.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигма-алгебры
Сообщение03.04.2006, 16:12 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
lofar писал(а):
Легко показать, что всякая конечная $\sigma$-алгебра состоит из $2^n$ элементов.

Всякая ли?
А самая примитивная - пустое множество и объединение всех элементов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигма-алгебры
Сообщение03.04.2006, 16:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
finanzmaster писал(а):
А самая примитивная - пустое множество и объединение всех элементов?


Два элемента (вы их, собственно, и назвали), n=1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 12:55 


06/11/05
87
Если принять обобщённую гипотезу континуума, то по-моему утверждение, очевидно, верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 13:35 


06/03/06
150
Trueman писал(а):
Если принять обобщённую гипотезу континуума, то по-моему утверждение, очевидно, верно.


Какое утверждение верно?

Это
lofar писал(а):
Верно ли, что всякая $\sigma$-алгебра имеет мощность вида $2^{c}$, где $c$ --- некоторый кардинал?

или это
er писал(а):
Скорее всего, для мощности $\tau$ $\sigma$-алгебры верно $\tau^{\aleph_0}=\tau.
?

Первое утверждение не верно. Пусть $\tau$ есть предел возрастающей трансфинитной последовательности $\{\tau_\alpha: \alpha<\omega_1\}$ кардиналов, для которых $2^{\tau_{\alpha}}\le \tau_{\alpha+1}$. Тогда $\tau=\tau^{\aleph_0}$ и $\tau$ не вида $2^c$. И существует $\sigma$-алгебра мощности $\tau$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group