точный куб

[maxal]

Пусть положительные целые числа $a,x,y,z$ таковы, что $(xz+1)(yz+1)=az^3+1$ и $z\geq (a+1)^2$.
Докажите, что $a$ является кубом целого числа.

[geomath]

Перебрал на минутку все $x, y, z$ до 1000. Действительно Натурально, $a$ равно или 1, или 8.

[nnosipov]

А мне понравилось, спасибо за задачу. Сейчас как раз сезон тренингов перед заключительным этапом ВМО, и это хорошее тренировочное упражнение для школьников, начиная с 9-го класса (если судить по тому рассуждению, что у меня получилось).

geomath в сообщении #1510551 писал(а):

Натурально, $a$ равно или 1, или 8.

Приоткрою тайну: в условиях задачи $a$ может быть равно любому точному кубу.

[Null]

$xyz+x+y=az^2$
$x+y=kz$
$xy=az-k$

(z>2k)

$xy\ge kz-1$
$kz<az-k$
$k<\frac{az}{z+1}<a\le \frac{z}{2}$

$$k^2(x-y)^2=k^2\left((kz)^2-4(az-k)\right)=k^4z^2-4azk^2+4k^3=(k^2z-2a)^2+4k^3-4a^2$$

- полный квадрат, но
$(k^2z-2a)^2+4k^3-4a^2<(k^2z-2a+1)^2$ и
$(k^2z-2a)^2+4k^3-4a^2>(k^2z-2a-1)^2$ Кроме случая $k=1$ - Его легко разобрать отдельно.
Значит $4k^3=4a^2$, а значит $a$ - полный куб

[nnosipov]

Null в сообщении #1510577 писал(а):

Кроме случая $k=1$ - Его легко разобрать отдельно.

В принципе, рассмотрение этого случая можно избежать.

[Null]

nnosipov в сообщении #1510584 писал(а):

В принципе, рассмотрение этого случая можно избежать.

Из соображений четности? Вычитать не $1$, а $2$?

[nnosipov]

Нет, я имел в виду свое решение (см. ЛС).

[xagiwo]

Решение под спойлером

(Решение)

Пусть $x \leq y$. Докажем, что $x < \sqrt{z}$:
$az^2=xyz+x+y$,
откуда $x+y \vdots z$ и $xyz < az^2$, тогда $x + y \geq z$ и $xy < az \leq (\sqrt{z}-1)z$.
Положим $x+y = z+r,\quad xy = (\sqrt{z}-1)z - s$, тогда, как меньшее решение квадратного уравнения,
$x = (z+r-\sqrt{(z+r)^2-4[(\sqrt{z}-1)z - s]})/2 < (z+r-\sqrt{(z+r)^2-4(\sqrt{z}-1)z})/2 \leq (z-\sqrt{z^2-4(\sqrt{z}-1)z})/2 = \sqrt{z}$
, ч.т.д.

Далее, $y < az/x \leq az \leq z(\sqrt{z}-1) < z^2 - 1$. Значит, $yz+1 < z^3$, а поскольку
$yz+1 \equiv (xz+1)^{-1} \equiv (xz)^2 - xz + 1 \pmod{z^3}$ и
$0 < (xz)^2 - xz + 1 \leq (xz)^2 < (\sqrt{z}z)^2 = z^3$, то $yz + 1 = (xz)^2 - xz + 1$, откуда $a = x^3$.

nnosipov, а мне своё решение не отошлёте?

[nnosipov]

Если еще кому интересно, то вот это решение.

Имеем

$$ a=\frac{xyz+x+y}{z^2},$$

откуда $x+y=zt$ для некоторого натурального $t$. Можно считать, что $x \leqslant zt/2$. Тогда

$$a=\frac{xy+t}{z}=\frac{x(zt-x)+t}{z}=xt+\frac{t-x^2}{z}=xt-\frac{x^2-t}{z}.$$

Если $t>x^2$, то $t=x^2+zu$ для некоторого натурального $u$. Значит,

$$a=xt+u \geqslant t+1 \geqslant z+2$$

и $z \geqslant (a+1)^2 \geqslant (z+3)^2$, что невозможно. Пусть $t<x^2$. Поскольку $x^2-t$ делится на $z$, имеем $x \geqslant \sqrt{z+t}$. Функция

$$f(x)=xt-\frac{x^2-t}{z}$$

возрастает на отрезке $[\sqrt{z+t},zt/2]$, поэтому

$$ a=f(x) \geqslant f(\sqrt{z+t})=t\sqrt{z+t}-1,$$

откуда $a+1 \geqslant t\sqrt{z+t} \geqslant \sqrt{z+1}$. Значит, $z \geqslant (a+1)^2 \geqslant z+1$ --- противоречие. Итак, $t=x^2$ и $a=x^3$ --- точный куб.

[nnosipov]

maxal
А откуда задача?

[rightways]

А еще равенство можно записать в виде

$$a^2-t^3=(xt-a)(yt-a)$$

так мы сможем доказать что $t<x^2$ без использования функции $f(x)$.

[geomath]

nnosipov в сообщении #1510553 писал(а):

Приоткрою тайну: в условиях задачи $a$ может быть равно любому точному кубу.

Очень большие числа получаются. Пусть $x= 10^n, n= 0, 1, 2, ...$ и $z= (a+1)^2.$ Тогда число цифр в $y$ образует арифметическую прогрессию с шагом $8$. Докажите.

[xagiwo]

geomath
Здесь уже дважды доказали, что если $x \leq y$, то $a = x^3$, а $y = x^2z - x$. Остаётся случай $y \leq x$, тогда $10^n = y^2(y^3+1)^2 - y = y(y^7 + 2y^4 + y - 1)$, это невозможно.

[geomath]

xagiwo
Мне сказали, что $a$ может быть кубом любого числа, и доказали, что $a = x^3$, ну я и взял для примера $x = 10^n$. Что не так?

[xagiwo]

geomath
Всё хорошо, просто утверждение тривиально из-за того, что $y = x^2z - x = x^2(x^3+1)^2 - x$