Задача из Зорина [задача 6, страницу 214, издание 10]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Пусть $f\in C^{(n)}\left(]-1,1[\right)$ и $\sup \limits_{-1<x<1} |f(x)|\leq 1$. Пусть $m_k(I)=\inf \limits_{x\in I} |f^{(k)}(x)|$, где $I$ - промежуток, содержащийся в интервале $]-1,1[$. Покажите, что

a) Если $I$ разбит на три последовательных промежутка $I_1, I_2,I_3$ и $\mu$ - длина $I_2$, то

$$m_k(I)\leq \dfrac{1}{\mu}\left(m_{k-1}(I_1)+m_{k-1}(I_3)\right);$$

b) Если $I$ имеет длину $\lambda$, то

$$m_k(I)\leq \dfrac{2^{k(k+1)/2}k^k}{\lambda^k};$$

c) существует такое число $\alpha_n$, зависящее только от $n$, что если $|f'(0)|\geq \alpha_n$, то уравнение $f^{(n)}(x)=0$ имеет в $]-1,1[$ по крайней мере $n-1$ различных корней.

Мои попытки: a) Часть a) я доказал довольно легко. Доказывается она путем применения теоремы Лагранжа и нужно взять инфимумы. Если кого-то интересуют детали, то с радостью покажу.

b) Здесь у меня возникли проблемы даже с базовой частью, т.е. когда $k=1$, т.е. $m_1(I)\leq \dfrac{2}{\lambda}$. Как доказать базовую часть и общую часть? Думаю, что индукция должна тут сработать. Но хотелось бы увидеть детали, конечно.

c) Тут абсолютно никаких идей нет у меня.

Я был бы очень признателен если кто-то покажет мне доказательства b) и с).

[DeBill]

Whitaker в сообщении #1511487 писал(а):

b) Здесь у меня возникли проблемы даже с базовой частью,

Ну, это Вы просто забыли про условие

Whitaker в сообщении #1511487 писал(а):

$\sup \limits_{-1<x<1} |f(x)|\leq 1$.

Тогда применение а) немедленно дает нужное.
А шаг $1\to 2$должОн делаться, видимо, так: разобьем $I$ на 3 части длин $\frac{\lambda}{4},\frac{\lambda}{2},\frac{\lambda}{4}$, применим к крайним b) для $k=1$, и из а) получим требуемое. Ну, и т.д...

c) Можно пробовать так ($k=3$например). В середине производная - ну очень большая (положительная пусть), а b) обещает наличие точек с малой производной на участке $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ (и симметричном). Поэтому на $[0,\frac{2}{3}]$ есть точка с большой отрицательной второй производной, на $[-\frac{2}{3},0]$ есть точка с большой положительной второй производной, а правее-левее их - по b) - есть точки с малой второй производной. Применяя к этим точкам Лагранжа, найдем точки со знаками третьей производной $+,-,+$. Меж ними есть ейные нули...

-- 07.04.2021, 14:50 --

Что-то близкое уже было:
«Аналитическая функция вещественного переменного»
(смотри "Лемма" в предпредпоследнем сообчении)

[Whitaker]

DeBill в сообщении #1513226 писал(а):

Whitaker в сообщении #1511487 писал(а):

b) Здесь у меня возникли проблемы даже с базовой частью,

Ну, это Вы просто забыли про условие

Whitaker в сообщении #1511487 писал(а):

$\sup \limits_{-1<x<1} |f(x)|\leq 1$.

Тогда применение а) немедленно дает нужное.
А шаг $1\to 2$должОн делаться, видимо, так: разобьем $I$ на 3 части длин $\frac{\lambda}{4},\frac{\lambda}{2},\frac{\lambda}{4}$, применим к крайним b) для $k=1$, и из а) получим требуемое. Ну, и т.д...

c) Можно пробовать так ($k=3$например). В середине производная - ну очень большая (положительная пусть), а b) обещает наличие точек с малой производной на участке $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ (и симметричном). Поэтому на $[0,\frac{2}{3}]$ есть точка с большой отрицательной второй производной, на $[-\frac{2}{3},0]$ есть точка с большой положительной второй производной, а правее-левее их - по b) - есть точки с малой второй производной. Применяя к этим точкам Лагранжа, найдем точки со знаками третьей производной $+,-,+$. Меж ними есть ейные нули...

-- 07.04.2021, 14:50 --

Что-то близкое уже было:
«Аналитическая функция вещественного переменного»
(смотри "Лемма" в предпредпоследнем сообчении)

Спасибо Вам большое! Задачу уже решил)