Распределения без матожидания

[arseniiv]

Есть ли какие-то наглядные аргументы, почему у распределения например Коши нет матожидания? Понятно, что потому что интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac x {x^2 + 1} dx$ расходится. Но ведь $\frac 1 {x^2 + 1}$ выглядит вполне вменяемо, унимодально! Хвосты даже выглядят достаточно тяжёлыми (ну и в самом деле, этот-то интеграл ещё сходится), но после умножения на $x$ перестают. Но это (недостаточно хорошая асимптотика хвостов плотности вероятности) не особо интуитивный аргумент, хочется чего-то более наглядного.

[alisa-lebovski]

Закон больших чисел не работает. При усреднении ни к чему не сходится, а болтается.

[arseniiv]

alisa-lebovski
О, спасибо!

Значит, посмотрим на свёртки $\frac 1 {x^2 + 1}$ с собой глазами… Ага, стоит на месте. Это уже интересно!

-- Чт мар 25, 2021 22:59:27 --

Кстати наталкивает на вопрос, есть ли распределение с конечной дисперсией, для которого среднее арифметическое независимых величин с ним даст величину, у которой дисперсия не меньше и не равна, а даже больше?

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1511121 писал(а):

(недостаточно хорошая асимптотика хвостов плотности вероятности) не особо интуитивный аргумент, хочется чего-то более наглядного.

С другой стороны, в зависимости от ситуации и силы чесания рук можно вспомнить про $\operatorname{v. p.}$ и взять оттуда нуль. Или нет?

[Евгений Машеров]

arseniiv в сообщении #1511155 писал(а):

Кстати наталкивает на вопрос, есть ли распределение с конечной дисперсией, для которого среднее арифметическое независимых величин с ним даст величину, у которой дисперсия не меньше и не равна, а даже больше?

Нет.

[geomath]

Возьмем нефтяное месторождение и добычу нефти на нем. Сначала она растет, достигает максимума, а затем спадает. И делает она это по типу функции плотности логистического распределения, хотя ни о какой вероятности здесь речь не идет, но по форме похоже. В принципе можно использовать и нормальное распределение, но вряд ли Коши. Хорошо. А что мешает ей (добыче) изменяться по типу распределения Коши? Или не мешает?

[Евгений Машеров]

geomath в сообщении #1511212 писал(а):

А что мешает ей (добыче) изменяться по типу распределения Коши? Или не мешает?

(Оффтоп)

Некошерно!

А если серьёзно - ничего не мешает. Потому, как функция распределения для Коши - арктангенс, и запасы могут убывать по такому закону. Но совпадение записи зависящей от времени функции и функции плотности распределения означает меньше, чем ничего, потому что не только не сообщает о функции чего-то полезного, но и порождает ошибочные аналогии. Логистический рост и логистическое распределение вероятностей никак не связаны.

[geomath]

Евгений Машеров в сообщении #1511218 писал(а):

Потому, как функция распределения для Коши - арктангенс, и запасы могут убывать по такому закону.

Вот откуда вы это знаете? То что логистическая кривая используется для описания накопленной (кумулятивной) добычи нефти, а ее производная в этом случае называется кривой Хабберта, видно хотя бы из литературы по этому делу. Встречается и кривая Гаусса. А вот насчет "кривой Коши"... сейчас погуглил, ничего не нашел.

[Евгений Машеров]

arseniiv в сообщении #1511121 писал(а):

Хвосты даже выглядят достаточно тяжёлыми (ну и в самом деле, этот-то интеграл ещё сходится), но после умножения на $x$ перестают.

Ну, собственно, как раз дело в том, что они "тяжёлые". Сиречь вероятность больших отклонений достаточно высока, и ими неглижировать не получается. У нормального убывают быстро, а у Коши вероятность получить в очередном элементе выборки грандиозный выброс достаточно велика.

[Евгений Машеров]

geomath в сообщении #1511226 писал(а):

Вот откуда вы это знаете? То что логистическая кривая используется для описания накопленной (кумулятивной) добычи нефти, а ее производная в этом случае называется кривой Хабберта, видно хотя бы из литературы по этому делу. Встречается и кривая Гаусса. А вот насчет "кривой Коши"... сейчас погуглил, ничего не нашел.

Ключевое слово "используется для описания". То есть не какой-то природный закон, а удобная форма представления данных. А добыча идёт так, как хозяин/Госплан/Царь-батюшка приказал, с учётом реальных условий. И, скорее всего, в реале не будет красивой кривой, логистикой ли, или нормального распределения. Предположу, что на этапе освоения достаточно крутое нарастание, потом спад (причём иногда рывками, а иногда и вовсе немонотонность - скажем, новый метод добычи позволят поднять дебит месторождения). Но в качестве просто записываемой модели можно принять ровную кривую. Никаких оснований для использования Коши нет, как и для нормального, кроме того, что "похоже на реальную картину, но просто записывается". Для логистической кривой хоть какое-то обоснование есть: $y'=ky(A-y)$, но это можно считать описанием для, скажем, развития популяции животных (растёт по экспоненте, но по мере приближения к максимально возможной численности рост тормозится), а для добычи такого обоснования не вижу, так что только "ищем под фонарём", и "принимая для простоты тело человека имеющим форму шара".
Ну и повторю - логистическая кривая и логистическое распределение имеют схожие формулы, но на этом их общность заканчивается.

[geomath]

Евгений Машеров в сообщении #1511247 писал(а):

Ключевое слово "используется для описания". То есть не какой-то природный закон, а удобная форма представления данных. А добыча идёт так, как хозяин/Госплан/Царь-батюшка приказал, с учётом реальных условий. И, скорее всего, в реале не будет красивой кривой, логистикой ли, или нормального распределения. Предположу, что на этапе освоения достаточно крутое нарастание, потом спад (причём иногда рывками, а иногда и вовсе немонотонность - скажем, новый метод добычи позволят поднять дебит месторождения). Но в качестве просто записываемой модели можно принять ровную кривую. Никаких оснований для использования Коши нет, как и для нормального, кроме того, что "похоже на реальную картину, но просто записывается". Для логистической кривой хоть какое-то обоснование есть: $y'=ky(A-y)$, но это можно считать описанием для, скажем, развития популяции животных (растёт по экспоненте, но по мере приближения к максимально возможной численности рост тормозится), а для добычи такого обоснования не вижу, так что только "ищем под фонарём", и "принимая для простоты тело человека имеющим форму шара".

Самая важная идея, связанная с логистической кривой, - это ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕСУРСА, который она описывает, поэтому она и выходит на асимптоту. Поэтому и используется для описания, что важно и для популяции животных, и для нефтедобычи, и для Госплана. Кривая Гаусса в известном смысле тоже ограничена, ущемлена.

Цитата:

Карл Гаусс в начале XIX века вывел закон распределения
ошибок величины, получаемой в эксперименте.
При этом он принял как постулаты следующие допущения:

1) Равные по модулю ошибки равновероятны.
2) Чем больше ошибка, тем меньше её вероятность.
3) При увеличении ошибки вероятность её стремится к нулю.
4) "Постулат Гаусса": из серии проведённых измерений наиболее точным является среднее значение.

Тогда как кривая Коши, могу предположить, более расточительна...

[alisa-lebovski]

geomath в сообщении #1511296 писал(а):

Тогда как кривая Коши, могу предположить, более расточительна...

Арктангенс тоже выходит на асимптоту. Кстати, такую модель предложил С.П.Капица для динамики численности населения Земли и наблюдается хорошее соответствие.

[Евгений Машеров]

Так и $\Phi^{-1}(x)$ тоже выходит. Но в любом случае это не вероятностное распределение, совпадение формул ещё не совпадение смыслов.

[arseniiv]

Евгений Машеров в сообщении #1511227 писал(а):

Ну, собственно, как раз дело в том, что они "тяжёлые". Сиречь вероятность больших отклонений достаточно высока, и ими неглижировать не получается.

А, я боялся что понимаю это слово неправильно. Думал, что тяжёлые — это наоборот быстро падающие в ноль, а значит обратное. Интересно, какая интуиция была у придумавших так называть. По-английски вот fat tails довольно очевидно — толстые значит далеко от оси абсцисс, иначе и не поймёшь.

Евгений Машеров в сообщении #1511227 писал(а):

У нормального убывают быстро, а у Коши вероятность получить в очередном элементе выборки грандиозный выброс достаточно велика.

Да, конечно, но на глаз по графику плотности не скажешь. Понятно, что в математике очень многое на глаз не скажешь, но хочется иметь для довольно простых результатов простые доводы.

[geomath]

alisa-lebovski в сообщении #1511356 писал(а):

Арктангенс тоже выходит на асимптоту. Кстати, такую модель предложил С.П.Капица для динамики численности населения Земли и наблюдается хорошее соответствие.

Книжку Капицы "Парадоксы роста" я читал, но не дочитал, мне его построения показались ошибочными. Теперь я уже подзабыл, но он там, помнится, обсуждает гиперболический рост населения Земли (т.е. уход на бесконечность за конечное время), который, понятно, может наблюдаться какое-то время, даже бесконечное в прошлом, но в будущем невозможен. Где-то в 50-х или 60-х годах было предсказание о "Судном дне" в пятницу 26 ноября 2026 года, когда население Земли станет бесконечным. Очевидно, что с тех пор наступил "фазовый переход" и численность населения Земли растет уже не гиперболически...