Подбор определенных функций.

[inevitablee]

Здравствуйте! Можно ли как-нибудь подобрать такие дважды непрерывно-дифференцируемые функции $x(t),y(t)$, что $x(1)=y(1)=0, x'(2)=y'(2)=0$ и $\int_1^2(xy'-x'y) \neq 0$? Перебрал пару тригонометрических функций, но выходит ноль.

[Dan B-Yallay]

inevitablee в сообщении #1511164 писал(а):

Можно ли как-нибудь подобрать такие дважды непрерывно-дифференцируемые функции $x(t),y(t)$, что

Вроде можно

inevitablee в сообщении #1511164 писал(а):

Перебрал пару тригонометрических функций, но выходит ноль.

Покажите эту пару

[inevitablee]

Dan B-Yallay
$cos(\pi t/2), cos^2(\pi t/2)$

-- 25.03.2021, 22:46 --

Мне бы конкретный пример, просто это нужно для доказательства того, что оператор $Ay = y'' + y'$, действующий в пространстве $h[1,2]$ дважды непрерывно-дифференцируемых функций с указанными выше граничными условиями для самих функций и их производных, НЕ является самосопряженным. Я предположил, что он самосопряженный и пришел в итоге к такому равенству для любых двух элементов $x(t),y(t)$, однако пока что противоречия явного здесь нет. Нужно придумать пример, в котором этот интеграл не будет равняться нулю, тогда уже возникнет противоречие с самосопряженностью, что и требуется.

[Dan B-Yallay]

inevitablee

а если попробовать

$$\cos (\pi t /2), \quad \cos (3\pi t /2)$$

?

[arseniiv]

Геометризуем задачу.

В общем какая-то точка пролетает через ноль при $t = 1$, имеет нулевую скорость при $t = 2$ и нас интересует ненулевой интеграл за это время скалярного произведения радиус-вектора точки и скорости точки, повёрнутой на 90° по часовой, или иначе нам надо, чтобы $\mathbf r \wedge \mathbf r'$, площадь параллелепипеда, натянутого на $\mathbf r, \mathbf r'$, интегрировалась в не ноль.

Отсюда видно, что какая-нибудь спиралевидная штука должна подойти: если сделать так, чтобы скорость была всегда по одну сторону от радиус-вектора, подынтегральный скалярчик будет всегда по одну сторону от нуля и интеграл набежит ненулевой, если скорость хоть иногда не сонаправлена с радиус-вектором, то есть нужно немного поворачивать. Остановка движения в $t = 2$ этому никак не мешает, быть в нуле при $t = 1$ тоже можно.

[inevitablee]

Dan B-Yallay
Сработало, интегралы соответствующие отличаются знаком и складываются не в ноль, спасибо!

[Otta]

inevitablee в сообщении #1511182 писал(а):

Сработало, интегралы соответствующие отличаются знаком и складываются не в ноль, спасибо!

Только зачем все это было, непонятно: сопряженный оператор легко считается явно.