Еще одно тригонометрическое тождество

[nnosipov]

Пусть $N \equiv 2 \pmod{4}$. Докажите, что

$$\sum_{j=0}^{N-1}\frac{(-1)^j}{\sin{\dfrac{(2j+1)\pi}{N}}}=N.$$

Комментарий. Авторам той статьи, откуда я взял этот пример, данное тригонометрическое тождество кажется новым. Но это вряд ли, слишком просто выглядит.

[Farest2]

Может, в статье (doi:10.1088/1751-8113/45/37/374015) по ссылкам пробежаться? Хотя там, вроде, несколько не то...

[nnosipov]

Farest2
Спасибо за ссылку, добавлю себе в коллекцию. Обычно в подобных статьях приводятся тождества с многими параметрами, так что имеем проблему типа "найти иголку в стоге сена". Наверняка где-то есть, но проще самому переоткрыть. Вот, кстати, сам сейчас случайно обнаружил еще одно подобное тождество:

$$\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j\ctg{\frac{(2j+1)\pi}{N}}=N$$

для $N \equiv 0 \pmod{4}$.

Возможно, интересно было бы придумать чисто школьное доказательство.

[Dendr]

nnosipov в сообщении #1507111 писал(а):

Возможно, интересно было бы придумать чисто школьное доказательство.

У Майкла Пенна на его канале не было? А то он такие штуки любит.

Вообще, если как-нибудь пытаться, то его можно упростить, убрав, в первую очередь сбивающее с толку требование равенства по модулю 4, то есть заменив $N=4k+2$ и деля ряд сначала на половины, а потом - на четверти:

$$\sum\limits_{j=0}^{k-1}\frac{(-1)^j}{\sin{\frac{2j+1}{4k+2}\pi}}=k+\frac{1-(-1)^k}{2}; k>0$$

Или проще - при четном $k$ справа стоит $k$, при нечетном - $k+1$.

Если перейти к косинусам, то в дроби сократится двойка, и получится:
$\sum\limits_{j=1}^{k}\frac{(-1)^j}{\cos{\frac{j}{2k+1}\pi}}=-k-1$ при нечетном $k$
$\sum\limits_{j=1}^{k}\frac{(-1)^j}{\cos{\frac{j}{2k+1}\pi}}=k$ при четном $k$

Продлевая ряд до пределов 0 и $2k+1$, получаем окончательную формулу:

$$\sum\limits_{j=0}^{M}\frac{(-1)^j}{\cos{\frac{j\pi}{M}}}=\sum\limits_{j=0}^{M}{(-1)^j}{\sec{\frac{j\pi}{M}}}=\begin{cases} -M+1,&\text{если $M=4p+1$;}\\ M+1,&\text{если $M=4p-1$.} \end{cases}$$

При виде столь простой формулы я, честно признаться, смалодушничал и полез в справочник (у меня Прудников).
И там, под номером 4.4.6.2, нашел вот это:

$$\sum\limits_{k=0}^{n}{\sec{\frac{2k\pi}{2n+1}}}=(-1)^n\frac{2n+1}{2}+\frac{1}{2}$$

Здесь в числителе перебираются все только четные числа, меньшие знаменателя. Нечетные, как легко удостовериться, дадут ту же сумму, но с противоположным знаком, поэтому, вычтя ее из табличной, получим не что иное, как формулу, к которой только что свели заданную.

Собственно, для полноты картины осталось доказать табличное - то есть известное довольно давно - тождество. Но на этом пути, похоже, школьная математика сдается. Еще кое-как можно вспомнить Виета и заговорить о составлении полинома с равными косинусам корнями, но его конструирование - уже вышмат. Если только я ничего не путаю, конечно...

[nnosipov]

Dendr в сообщении #1507153 писал(а):

Если перейти к косинусам

Да, пожалуй, это упрощает дело. Возникающая сумма с секансом выглядит более привычно. Кстати, если секанс заменить на котангенс, то ответа в замкнутой форме нет, см. topic134153.html

В плане чисто школьного решения идея TOTAL может оказаться перспективной.

[Руст]

Я бы решил так:
Пусть $n=N/2$ - нечетное число.
Тогда члены с $j, j+n$ дают одинаковые значения, поэтому достаточно пробегать по четным $j$, а дальше умножать на 2.
Члену с номером $j=\frac{n-1}{2}+2k$ соответствует

$$(-1)^{{n-1}/{2}}\frac{1}{\cos \frac{2k\pi}{n}}$$

Суммируя только по членам, у которых четность одинаковая, как у $j=\frac{n-1}{2}$ знаки исчезнут (общий знак) и сумма сводится

$$2(-1)^{(n-1)/2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\cos \frac{2k\pi}{n}}$$

.
Здесь сумма обратных величин уравнения $T_n(x)=1$, где $T_n(x)$ многочлен Чебышева первого рода.

$$T_n(x)=2^{n-1}x^n+...+(-1)^{(n-1)/2}nx=1$$

По теореме Виета сумма для обратных величин и есть коэффициент перед х, что и дает требуемое.

[nnosipov]

Да, действительно, если говорить о совсем элементарном подходе, то можно привлечь многочлены Чебышева. Один из последних примеров такого рода: A GCD-weighted Trigonometric Sum // Amer. Math. Monthly, 2019, V. 126, N 5, P. 474. Там этим способом вычисляется сумма

$$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\cos^2{(\pi k/n)}}$$

при нечетном $n$. Несколько искусственно, но элементарно (и потому можно школьникам предлагать). Видимо, этот фокус с корнями многочленов Чебышева известен очень давно (наверняка есть соответствующие публикации в "Кванте").

[novichok2018]

Я бы посмотрел тождества в справочнике Интегралы и ряды, том 1, конечные суммы с секансом/косекансом. Там есть похожие, но надо внимательно разбираться. Это к проверке новое/не новое тождество.

[Руст]

Дело не в многочлене Чебышева а в взаимно-однозначном преобразовании корней
при дробно линейном преобразовании

$$x\to \frac{ax+b}{cx+d}, D=ad-bc\neq 0.$$

Корни уравнения многочлена n-ой степени $f(x)=0$ переводятся в корни уравнения
$\phi(x)=(cx+d)^nf(\frac{ax+b}{cx+d})=0$ при обратном рациональном отображении.
Легко находятся симметричные функции от корней (не только суммы) через симметричные функции
другого полинома. Дискриминанты многочленов так же связаны простой формулой:

$$Dis(\phi(x))=D^{2n-2}Dis(f(x)).$$

[nnosipov]

Руст в сообщении #1510975 писал(а):

Дело не в многочлене Чебышева

И в нем тоже: ведь коэффициент при $x$ в первой степени еще нужно вычислить (иметь для него явное выражение). Для многочлена Чебышева он известен (или может быть найден на основе рекуррентных соотношений, как написано в той статье из AMM, что я цитировал выше).

Руст в сообщении #1510975 писал(а):

взаимно-однозначном преобразовании корней при дробно линейном преобразовании

Для общих тригонометрических сумм (когда под знаком суммы произвольная рациональная функция) это не будет работать. А если и будет, то слишком искусственно.

Верьте мне, Шура. Только кража. Вычеты, и только вычеты (возможно, в разных версиях), в таких делах это самое естественное средство.

-- Чт мар 25, 2021 10:54:22 --

novichok2018 в сообщении #1510901 писал(а):

Я бы посмотрел тождества в справочнике Интегралы и ряды, том 1, конечные суммы с секансом/косекансом.

Кстати, да. Про этот хороший справочник я временно забыл. Но овчинка выделки не стоит сам вопрос не особо интересен, ибо исходная сумма выглядит весьма заурядно. Какой прок с этого тождества, пусть даже его и нет в справочниках? В общем, пустое.