Переменная и параметр. В чём разница?

[Amigo]

В математике часто встречается понятие как переменной величины так и параметра.
Но в чём принципиальная разница между этими понятиями? Возьмём например
уравнение прямой $y=kx+b$, обычно считается, что $y,x$ - переменные, а $k,b$ -параметры.
А почему? Вроде и $k,b$ - могут принять любые значения как и $y,x$ из R. В чём же отличие?

[AD]

Amigo в сообщении #150990 писал(а):

В математике часто встречается понятие как переменной величины так и параметра.

Ну как вам сказать ... ну эти понятия, в-общем, никто никогда внятно не определяет, и никакого смысла для математики в них нету. Это - слова, которые понятны физикам, скажем так. Для "них" они какой-то смысл несут. Впрочем, думаю, я сейчас сказал что-то спорное.

Ну в вашем примере, вроде бы, всё понятно. Сказав, что $x$ и $y$ - переменные, а $k$ и $b$ - параметры, автор имел ввиду примерно следующее:

Для каждого значения $k\in\mathbb{R}$ и $b\in\mathbb{R}$ рассмотрим функцию $f_{k,b}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x\mapsto y=kx+b$.

То есть как бы рассматриваем отображение $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, $(k,b)\mapsto (F(k,b)=f_{k,b}:x\mapsto y=kx+b)$ (я понятно выражаюсь?) вместо $\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$, $(k,b,x)\mapsto y=kx+b$, что, разумеется, совершенно одно и то же.
_________________

На практике в школьных (и не только) задачах, тем не менее, различать "переменные" и "параметры" надо по одной очень простой причине. Потому что надо грамотно записать ответ. Скажем, если надо "решить уравнение на $x$ при всех значениях параметра $a$", то в ответе должна стоять именно зависимость $x$ от $a$, а если у вас в ответе будет зависимость $a$ от $x$, то это будет неправильно. Тем не менее, в процессе решения эти понятия различать не стоит.

Скажем, есть достаточно много "уравнений с параметрами", в которых уравнение большой степени по $x$ , но зато квадратное по $a$ (да и еще с хорошо подобранным дискриминантом $D(x)$), и, следовательно, начинать надо с выражения $a$ через $x$, а потом по полученной зависимости, скажем, делать вывод о числе решений итп, а выражать $x$ через $a$, как того, казалось бы, требует формулировка - дело безнадежное.

[VAL]

Amigo писал(а):

В математике часто встречается понятие как переменной величины так и параметра.
Но в чём принципиальная разница между этими понятиями? Возьмём например
уравнение прямой $y=kx+b$, обычно считается, что $y,x$ - переменные, а $k,b$ -параметры.
А почему? Вроде и $k,b$ - могут принять любые значения как и $y,x$ из R. В чём же отличие?

Предполагается, что параметры принимают любые допустимые, но фиксированные значения. Так, в случае с $y=kx+b$ при каждом фиксированном значении k и b получается одна конкретная прямая. Если же считать переменными и x, и k и b, то получим какую-то гиперповерхность в четырехмерном пространстве.

Кстати, на эти грабли массово наступали составители пособий для поступающих в вузы (точнее, наверное, наступил кто-то один, а остальные благополучно списали).
В свое время (лет 15, а то и больше, назад), абитуриент уверенно заявил на устном экзамене, что областью значений квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ является множество всех действительных чисел. А когда егео поправили предъявил пособие для поступающих в вузы, где было написано именно то, что сказал абитуриент.
Я хотел было воспринять это как курьез, но с этого момента на протяжении ряда лет других ответов на этот вопрос я от абитуриентов не слышал. Тогда, заходя в книжные магазины, я стал интересоваться освещением этого вопроса в многочисленных к тому времени пособиях для поступающих. И почти во всех было написано: "Область значений квадратичной функции - множество всех действительных чисел." Не исключено, что картина не изменилась и сейчас. Просто с переходом на ЕГЭ я перестал сталкиваться с этой ситуацией.

Если говорить о решении всяческих заданий, в которых фигурируют уравнения и неравенства с параметрами, то там иногда бывает полезно временно понять местами переменную и параметр, считая фиксированной именно переменную.

[Amigo]

То есть разницы особой нет как я понял. Объясните пожалуйста ещё один вопрос.
Переменная это что такое вообще? Буква, утверждение, абстракция,множество, объект или что?
Вот есть числовая прямая, можно сказать что она состоит из чисел вида $a_0,a_1a_2...a_n...$
Внутри самой прямой никаких переменных нет, то есть нет такого самостоятельного числа Х, откуда же они берутся? На каком этапе построения теории они возникают? И вообще "переменная" это понятие формализуемое? Никак не могу понять смысл выражения
х+х=2х. Я понимаю, если бы мы складывали кокретные числа, ну там например 3+5 или 4+9
тут понятно всё. - Для всех чисел мы сказали, что складывать их можно, и поэтому такое выражение вполне прозрачно. Но как мы можем определить сложение между буквами?

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

Re: Переменная и параметр. В чём разница?

VAL писал(а):

Предполагается, что параметры принимают любые допустимые, но фиксированные значения.

А разве переменная принимает не фиксированные значения?

[AD]

Amigo в сообщении #151007 писал(а):

А разве переменная принимает не фиксированные значения?

Они менее фиксированные, чем значения параметра. Только всё равно пустой звук получается.

Amigo в сообщении #151007 писал(а):

Никак не могу понять смысл выражения
х+х=2х.

Это - предикат (скажем так, отображение, сопоставляющее каждому $x\in\mathbb{R}$ высказывание). И он тождественно истинный (то есть это высказывание истинно для любого $x\in\mathbb{R}$). А вот это: $\forall x\in\mathbb{R}\quad x+x=2x$ - просто высказывание.

Можно интерпретировать это и по-другому.

Вот сейчас попробую растолковать, что такое переменная. Обычно слово "переменная" реально возникает в формализованном виде при попытке определить понятие "формула". В этом случае делают так. Прежде всего, формула - это конечная последовательность буковок из некоторого алфавита (т.е. элементов некоторого, обычно конечного или счетного, множества $\mathfrak{A}$), построенная по некоторым далее изложенным правилам. Множество $\mathfrak{A}$ представлено в виде объединения некоторых непересекающихся множеств: $\mathfrak{A}=X\cup F\cup T$, где элементы множества $X$ начинают называть переменными, а элементы $F$ - "функциональными символами" (например, $+$, $\otimes$, $\arctg$, ...); каждому из них приписывается "местность" (то есть количество мест для вписывания аргументов: скажем, у $+$ местность 2, а у $\arctg$ - единица). А в множество $T$ загнано всё остальное, что может понадобиться: скобки, запятые, ... И дальше вводят какое-нибудь такое индуктивное определение:

$\circ$ всякая строка "$x$", состоящая из одного элемента $x\in X$ - это формула над $\mathfrak{A}$,
$\circ$ если $w_1,\ldots,w_n$ - уже формулы над $\mathfrak{A}$, а $f\in F$ - $n$-местный функциональный символ, то "$f(w_1,\ldots,w_n)$" - тоже формула над $\mathfrak{A}$,
$\circ$ и никакие другие строки формулами над $\mathfrak{A}$ не являются.

Дальше этим формулам пытаются сопоставлять функции - так же, по индукции: формуле "$x$" соответствует функция $y=x$, а формуле $f(w_1,\ldots,w_n)$ - функция $f(f_1(\cdot),\ldots,f_n(\cdot))$, где $f_1,\ldots,f_n$ уже соответствуют $w_1,\ldots,w_n$.

Таким образом, ваше выражение x+x=2x можно интерпретировать как вот такое высказывание: формулы "x+x" и "2x" задают одну и ту же функцию.

Еще одно толкование. Что такое многочлен? Есть на этот вопрос два типичных ответа. Один - что это функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, представимая формулой над системой с $X=\{x,1\}$, $F=\{+,\cdot\}\cup\{\lambda\cdot\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$ (надеюсь, ничего не забыл). Но этот вариант мы уже обсудили.

Другой вариант - сказать, что многочлен - это последовательность чисел из $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, у которой с какого-то места одни нули стоят. При этом можно тупо-формально ввести на этом множестве операции сложения и умножения (то есть вывести в общем виде правило умножения многочленов, и объявить, что две последовательности перемножаются по этим правилам, и всё). А что эту последовательность записывают в виде $(a_0,a_1,\ldots)=a_0+a_1x+\ldots$ - это чистая случайность.

И при таком подходе ваше высказывание будет звучать так: сумма многочлена $x$ и многочлена $x$ будет равна многочлену $2x$.

Короче, одной такой записи не достаточно, чтобы понять, что написано. Скажем, у меня тут везде множество $\mathbb{R}$ фигурирует, а это я с потолка взял. Может, тут надо везде было $\mathbb{Z}$ писать, я ж не знаю, для каких $x$ вы это утверждали.

[TOTAL]

Amigo писал(а):

То есть разницы особой нет как я понял.

Значит, совсем не поняли.

[PAV]

Когда мы имеем дело с выражением, содержащем переменные, то обычно оно описывает целую совокупность некоторых объектов. Каждое конкретное значение переменной задает какой-то один объект из этой совокупности. Объявление некоторых переменных "параметрами" означает, что с содержательной точки зрения у нас объекты еще и делятся на какие-то классы "более общих" и "более элементарных". Точнее даже так: параметры возникают там, где мы переходим от одного объекта (состоящего, возможно, из более мелких) к совокупности таких объектов. Параметр отличает один такой объект от другого.

Например, рассмотрим прямую, задаваемую уравнением $y=x$. Прямая - это совокупность точек и каждое конкретное значение переменной $x$ соответствует одной точке. Другое уравнение $y=x+1$ задает другую прямую, параллельную первой. А теперь мы хотим описать сразу все такие прямые. Для этого мы их параметризуем параметром $a$ и пишем уравнение $y=x+a$. Говорим, что это уравнение задает параметрическое семейство прямых, каждое значение параметра $a$ задает какую-то конкретную прямую из этого семейства.

[ha]

Объяснение для программистов - 2 мерный массив(y=x+a), это не то же самое, что массив (по "индексу" a) массивов (по "индексу" x). При этом параметрами называются индексы внешнего массива массивов, а переменными - индексы внутреннего. В случае тройной вложенности параметрами будут первый и второй индексы, а переменными - третий и совокупность второго и третьего (в зависимости от уровня текущего рассмотрения).

[TOTAL]

ha писал(а):

Объяснение для программистов - 2 мерный массив(y=x+a), это не то же самое, что массив (по "индексу" a) массивов (по "индексу" x). При этом параметрами называются индексы внешнего массива массивов, а переменными - индексы внутреннего. В случае тройной вложенности параметрами будут первый и второй индексы, а переменными - третий и совокупность второго и третьего (в зависимости от уровня текущего рассмотрения).

У кого бедному начинающему программисту спрашивать разрешение,
какой индекс позволительно считать параметром, а какой переменной?

[Алексей К.]

Amigo в сообщении #151007 писал(а):

Переменная это что такое вообще? Буква, утверждение, абстракция,множество, объект или что?

Полагаю, это просто слово из русского языка, весьма точное и удобное для ряда задач, не требующее дополнительного определения. Его всегда можно заменить другими менее образными, но более формальными словами-терминами, отчего математические утверждения станут более труднопроизносимыми.

Вот Вы, например, бегаете по кругу радиуса $R$ и чего-то там оптимизируете. Бежать проще, чем прямее круг, т.е. чем больше радиус. Можно бОльшую скорость развить (меньше бензина). Но тогда увеличиавется путь (больше бензина). Или об измерении усталости речь.
Переменная величина --- время, или полярный угол, определяющий Ваше текущее положение на кругу. Она, эта переменная, в процессе одного акта измерений непрерывно-переменно пробежит все значения в каких-то пределах ($[0,\:3600^\circ]$, $[0,\:100R]$, итп). А радиус будет параметром задачки.
Потом Вы попробуете другой (тоже фиксированный) радиус, а переменная опять будет перемениваться. Радиус "более фиксирован", чем угол(время). Независимо от того, делаете ли Вы эти опыты с реальной беготнёй по кругу, или рассчётами на бумажке --- радиус будет, скорее всего, параметром задачи.
А потом возникнет вопрос --- а при каком значении параметра что-то там становится дико зашибись? И да, будем параметр переменивать.

Полагаю, надо осмыслить эти понятия на уровне их значения в русском языке, и не мудрить.
Понятно, что легко придумается задача с двумя независимыми переменными (x,y) и одним или более параметрами (сегодняшняя погода и сколько вчера выпил): как бы $x,y$ не менялись в течение часа, погода будет считаться постоянной. Но вот послезавтра этот параметр примет другое значение...

[Архипов]

Amigo в сообщении #150990 писал(а):

В математике часто встречается понятие как переменной величины так и параметра.
Но в чём принципиальная разница между этими понятиями?

Переменная (текущая) величина - параметр (для краткости).
Постоянная (фиксированная) величина - константа (для краткости)

[sergey1]

Amigo в сообщении #150990 писал(а):

В математике часто встречается понятие как переменной величины так и параметра.
Но в чём принципиальная разница между этими понятиями?

К параметру мы относимся как к числу. Например, если у функции $y=ax^2+bx+c$ считать a, b, c параметрами, а х переменной, то это квадратичная функция и ее график - парабола, которая зависит от конкретных a, b, c. Если же параметры х, b, c, а переменной является $a$, то это линейная функция и ее график - прямая, зависящая от чисел х, b, c.
Если же а и х переменные, то это функция - многочлен третьей степени относительно двух переменных.

[TOTAL]

sergey1 писал(а):

К параметру мы относимся как к числу.

Не всегда. Например, говорят о параметрически заданной кривой.
Вряд ли получится в общем случае сформулировать отличие параметра от переменной. Однако в каждой конкретной ситуации всегда понятно, что человек имеет в виду, называя одни величины параметрами, а другие переменными.

[Алексей К.]

TOTAL в сообщении #151114 писал(а):

Например, говорят о параметрически заданной кривой

Точно. И почему-то никто не путается в семействе $x(t;C),\:y(t,C)$ параметрически заданных кривых, "где $t$ --- параметр кривой, а $C$ --- параметр семейства."
Но, наверное, мы к этому каким-то образом давно привыкли, а у человека начинающего возникают проблемы.

[mserg]

В математике различают три типа переменных:
* Формульные
* Свободные
* Квантифицированные (переменные, связанные кванторами)
Детали можно найти в интернете. Наиболее часто употребляемые в "быту" - это переменные, связанные кванторами существования. Когда записываются системы уравнений, именно этот тип переменных подразумевается.
Параметр в математике отличается от переменной (связанной квантором) тем, что суть на момент постановки задачи значение параметра неизвестно. Решить задачу с параметрами неявно обозначает "построить алгоритм решения задачи", входными данными для которого являются параметры.

В императивном программировании (C, Pascal и т.д., не Prolog) - переменная - это (в математическом смысле) - вычисляемая константа, а параметр - это аргумент функции.