Раскраска составного куба

[marie-la]

Из тысячи красных и синих кубиков $1\times1\times1$ сложили куб $10\times10\times10$. Чтобы кубики не перепачкались свежей краской, между соседними кубиками разного цвета вставляли тонкий изолирующий квадратик. Оказалось, что изолирующих квадратиков нечётное количество. Докажите, что на поверхности куба не может быть поровну красного и синего.

Или я чего-то не понимаю, или утверждение неверно. Вот мои рассуждения. При смене цвета внутреннего кубика четность количества квадратиков не меняется, поскольку у внутренних кубиков по 26 соседей. Поэтому, если заменить все внутренние кубики на синие, четность количества квадратиков не изменится. То есть можем стартовать с полностью синего куба, и менять кубики только на поверхности. Если бы у каждого из них было по нечетному числу соседей, то раскрасить красным ровно половину было бы невозможно - четное число раз поменяли четность количества квадратиков. Но ведь есть ребра квадрата (кроме вершин) - там у каждого кубика по 4 соседа. Значит, красим в красный один кубик на ребре, а остальные не на ребре - и получаем нечетное число квадратиков.

Я права или нет?

[svv]

marie-la в сообщении #1510648 писал(а):

При смене цвета внутреннего кубика четность количества квадратиков не меняется, поскольку у внутренних кубиков по 26 соседей. Поэтому, если заменить все внутренние кубики на синие, четность количества квадратиков не изменится.

Я думаю, в задаче имеется в виду, что защищать изолирующими квадратиками нужно только кубики, соприкасающиеся гранями. На это намекает и форма прослойки — квадрат. Скорее всего, 26 соседей — просто описка, так как ниже Вы правильно пишете, что у кубиков на ребре 4 соседа.

marie-la в сообщении #1510648 писал(а):

Докажите, что на поверхности куба не может быть поровну красного и синего.

А здесь имеется в виду равенство площадей поверхности куба, окрашенных в красный и синий цвет. А не равенство числа красных и синих поверхностных кубиков.

[marie-la]

svv
О, спасибо, поняла! У кубиков на ребре в площадь идет четное число граней, у остальных кубиков нечетное.

[svv]

Да.

Ещё вариант. По новой супертехнологии будем изготавливать красные (но не синие) кубики сразу с защитными квадратиками на всех 6 гранях, а потом удалим их с тех граней, где они не нужны. Тогда исходное число квадратиков чётно. Защита обеспечена, а местами будет избыточна:
1) Если два красных кубика соприкасаются гранями, между ними окажется два квадратика, хотя тут они не нужны вовсе. Если удалить оба, на чётность это не повлияет.
2) Остаётся удалить квадратики с поверхностных граней красных кубиков. Число удалённых квадратиков нечётно и равно площади "красной" части поверхности. Нечётное число не может быть половиной всей поверхности.