Доказать сходимость и найти сумму ряда

[VoprosT]

Дан ряд $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} = \frac{1}{1! + 2!} + \frac{1}{3! + 4!} + \frac{1}{5! + 6!} + ...$
Сходимость я решил показать через мажорирование другим рядом:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} < \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} < \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+2)!}$$

И теперь, если сложить неравенства, то получим

$$2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} < \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$$

, а ряд справа сходится. Но только я не уверен, можно ли складывать наш исходный ряд с самим собой, когда мы ещё не знаем ничего о его сходимости(расходимости)?
Сумму ещё не искал, однако, подсказали, что равна она $\frac{1}{e}$.

[Mihr]

При мажорировании сравниваются не "сами" ряды, а их общие члены.

[VoprosT]

Mihr в сообщении #1510326 писал(а):

При мажорировании сравниваются не "сами" ряды, а их общие члены.

Хм, хорошо, понял.
То есть можно сразу заключить, что ряд сходится потому, что $\frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} < \frac{1}{n!}$?

[Mihr]

Можно проще. Воспользуйтесь тем, что умножение общего члена ряда на любой ненулевой коэффициент (в частности, на 2) не влияет на сходимость этого ряда.

-- 21.03.2021, 14:23 --

Хотя, нет, наверно, Вы сделали проще всего.

[VoprosT]

А как можно подступиться к сумме? Представить общий член как-то по-другому?

[nnosipov]

VoprosT в сообщении #1510332 писал(а):

Представить общий член как-то по-другому?

Конечно. Как можно упростить знаменатель?

[VoprosT]

nnosipov в сообщении #1510339 писал(а):

VoprosT в сообщении #1510332 писал(а):

Представить общий член как-то по-другому?

Конечно. Как можно упростить знаменатель?

$\frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)!(2n+3)}$. А дальше подумать про разложение на простейшие? Но как-то странно в таком направлении работать с факториалом

[nnosipov]

VoprosT в сообщении #1510347 писал(а):

А дальше подумать про разложение на простейшие?

Нет, там же факториал. Подумайте о степенных рядах.

[svv]

VoprosT в сообщении #1510347 писал(а):

$\frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)!(2n+3)}$. А дальше подумать про разложение на простейшие?

А дальше в таком направлении:
$...=\frac{2n+2}{(2n+3)!}=\frac{\text{удачно выбранная разность}}{(2n+3)!}$

[VoprosT]

svv в сообщении #1510357 писал(а):

VoprosT в сообщении #1510347 писал(а):

$\frac{1}{(2n+1)! + (2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)!(2n+3)}$. А дальше подумать про разложение на простейшие?

А дальше в таком направлении:
$...=\frac{2n+2}{(2n+3)!}=\frac{\text{удачно выбранная разность}}{(2n+3)!}$

$\frac{2n+2}{(2n+3)!} = \frac{2n+3}{(2n+3)!} - \frac{1}{(2n+3)!} = \frac{1}{(2n+2)!} - \frac{1}{(2n+3)!}$
Спасибо!

-- 22.03.2021, 16:31 --

nnosipov в сообщении #1510348 писал(а):

VoprosT в сообщении #1510347 писал(а):

А дальше подумать про разложение на простейшие?

Нет, там же факториал. Подумайте о степенных рядах.

С аппаратом степенных рядов, к сожалению, не знаком

[Otta]

Значит, не надо. Вам уже сделанного хватит.