Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[vicvolf]

До сих пор мы рассматривали случаи, когда предельным распределения для арифметической функции являлось нормальное распределение.

Сейчас мы рассмотрим, в том числе, и другие случаи предельного распределения арифметических функций и докажем несколько утверждений для указанных случаев.

Можно начать обсуждение прямо с этого сообщения. Готов ответить на вопросы.

Начнем рассмотрение с сильно аддитивных арифметических функций. В отношении данных функций Кубилюс доказал теоремы.

Теорема 4.1 (Кубилюс)

Для того, чтобы законы распределения $P_n \{\frac {f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$, где $f(m)$ - сильно аддитивная арифметическая функция класса $H$, сходились к предельному с дисперсией равной 1, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая функция $K(u)$ с вариацией равной 1, чтобы при $n \to \infty$ во всех точках непрерывности $K(u)$ выполнялось условие:

$$\frac {1}{D(n)} \sum_{p \leq n, f(p)<u\sqrt{D(n)}} \frac{f^2(p)}{p} \to K(u),$$

где соответственно $A(n),D(n)$ - среднее значение и дисперсия $f(m)$, а $K(u)$- функция Колмогорова:

$K(u)=0,if u<A; K(u)=\mu(1-u^2/A^2), if A \leq u<0;$$K(u)=\nu u^2/C^2+1-\nu, if 0<u \leq C; K(u)=1, if u>C,$

где $A,C,\mu,\nu$ - постоянные $\mu \geq 0,\nu \geq 0,\mu+\nu \leq 1,A \leq 0,C \geq 0$.

Возникает вопрос, какие законы вообще могут выступать в качестве предельных в теореме 4.1? На этот вопрос дает ответ следующая теорема.

Теорема 4.3 (Кубилюс)

Класс предельных законов, к которым стремится закон распределения $P_n \{\frac {f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$ с дисперсией равной 1 для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)$, принадлежащей классу $H$, совпадает с классом законов $K(u)$.

Как я писал ранее, что если существует предельное распределение сильно аддитивной арифметической функции, то оно совпадает с предельным распределением суммы асимптотически независимых случайных величин и в этом случае данная арифметическая функция относится к классу $H$.

Известно (Кубик), что предельное распределение суммы асимптотически независимых случайных величин, принимающих два значения, при определенных условиях, которые мы рассмотрим далее подробно, совпадает с одним из законов распределения $K(u)$.

Отсюда следует, что если существует предельное распределение сильно аддитивной арифметической функции, то оно совпадает с одним из законов распределения $K(u)$.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.1

Пусть существует сильно аддитивная арифметическая функция $f(m), m=1,...,n$, для которой ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ - расходится.
Обозначим $B(n)=(\sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)}{p})^{1/2}$, тогда, если $\frac {1}{B^2(n)}\sum_{p \leq n}\frac {f(p)}{p} \to K(u)$ при $n \to \infty$, где $K(u)$ - функция Колмогорова и $P\{\frac {|f(p)|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$, то:

1.Можно построить случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных величин, принимающих два значения, имеющую такое же предельное распределение, как $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$, для которой асимптотики среднего значения и дисперсии соответственно равны: $A(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.

2.Асимптотика центрального момента $k$-ого порядка для $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ определяется по формуле:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$$

Доказательство

Так как выполняются условия теоремы 4.1 ($\frac {1}{B^2(n)}\sum_{p \leq n}\frac {f(p)}{p} \to K(u)$ при $n \to \infty$, где $K(u)$ - функция Колмогорова), то на основании теоремы 4.1 законы распределения $P_n \{\frac {f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$, где $f(m)$ - сильно аддитивная арифметическая функция класса $H$, сходятся к предельному с дисперсией равной 1. На основании теоремы 4.3 класс этих предельных законов совпадает с $K(u)$.

С другой стороны, так как ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ - расходится и поэтому $B(n) \to \infty$, и на основании леммы 4.6 (Кубика) существует последовательность независимых случайных величин, принимающих не более двух значений - $X_p$, для которой закон распределения $ \frac {1}{B(n)}\sum_{p \leq n}{X_p}-A(n)$, при условии $P\{\frac {|X_p|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$, сходится к предельному, совпадающему с $K(u)$.


Давайте построим такую последовательность независимых случайных величин $X_p$ и покажем, что для нее будет выполняться условие $P\{\frac {|X_p|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$.

Построим данную случайную величину. Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=f(p)/p,D[X_p]=f^2(p)/p$.

Так как $P\{\frac {|f(p)|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$, то учитывая, что $|X_p| \leq |f(p)|$, получим, что выполняется $P\{\frac {|X_p|}{B(n)}>\epsilon\} \to 0, n \to \infty$.


Определим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}, D[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ т.е. равны асимптотикам соответственно среднего значения и дисперсии $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$. Таким образом, совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$.

Следовательно мы доказали первую часть утверждения. Теперь докажем вторую часть. Так как совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$, то совпадают и центральные моменты всех порядков. Поэтому достаточно определить центральные моменты у случайной величины $S_n$.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p^k}$.

Таким образом, центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$ равен:

$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=\frac{f^k (p)} {p}+O(\frac{f^k (p)} {p^2})$.

Получаем,что центральный момент $k$ -ого порядка для $S_n$:

$E[S^k,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+o(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p})$, т.е. $E[S^k,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$

Следовательно, мы доказали вторую часть утверждения.

Рассмотрим случаи, когда выполняется условие $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

Если $|f(p)| \leq C$, то $B(n) \sim (\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p})^{1/2} \leq (\sum_{p \leq n} \frac {C^2}{p})^{1/2}=C(\ln\ln(n))^{1/2}$, поэтому в этом случае выполняется условие $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

Если $sup_{p \leq n} |f(p)|=o(B(n))$, то в этом случае также выполняется условие $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

Напомню, что в этих случаях сильно аддитивная арифметическая функция $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

В качестве примера на использование утверждения 1.1 приведем сильно аддитивную арифметическую функцию, имеющую предельным распределением, как доказал Кубилюс, функцию $K(u)$:

$f(p)=\sqrt {2(1+\mu sgn(A)-\nu sgn(C))\ln\ln(p)}$, если $p \in Q_0$;
$f(p)=A\ln\ln(p)$, если $p \in Q_1$;
$f(p)=C\ln\ln(p)$, если $p \in Q_2$,

где $Q_0,Q_1,Q_2$ - классы простых чисел $p \leq n$.

Число простых чисел $p \in Q_1$ асимптотически равно:

$\frac {2\mu n}{A^2\ln(n)\ln\ln(n)}$,

если $A\mu$ не равно нулю.

Число простых чисел $p \in Q_2$ асимптотически равно:

$\frac {2\nu n}{C^2\ln(n)\ln\ln(n)}$,

если $C\nu$ не равно нулю.

Если же $A\mu=0$ или $C\nu=0$, то $Q_1$ и $Q_2$ - пусты.

Число простых чисел $p \in Q_0$ асимптотически равно:

$\frac {n}{\ln(n)}$.

Используя результаты темы "Асимптотика сумматорных функций простого аргумента", получим асимптотику центрального момента $k$ - ого порядка для данной сильно аддитивной арифметической функции:

$\sum_{p \leq n, p \in Q_0} \frac {f^k(p)}{p}=(1+\mu sgn(A)-\nu sgn(C))(\ln\ln(n))^k(1+o(1))$,

$\sum_{p \leq n, p \in Q_1} \frac {f^k(p)}{p}=-\mu sgn(A)(\ln\ln(n))^k(1+o(1))$,

$\sum_{p \leq n, p \in Q_2} \frac {f^k(p)}{p}=\nu sgn(C)(\ln\ln(n))^k(1+o(1))$.

Таким образом, получим:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p} = \ln\ln(n))^k(1+o(1))$.


Проверим выполнение в этом примере условия: $P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) \to 0,n \to \infty}$.

$P(\frac {|f(p)}{B(n)} > \epsilon) =\sum_{i=0}^2 \frac {#\{p \in Q_i, p \leq n, \frac {|f_i(p)|}{B_i(n)}> \epsilon\}}{n}=O(\frac {1}{\ln(n)\sqrt {\ln\ln(n)}})$, т.е. стремится к нулю при $n \to \infty$.

[vicvolf]

В утверждении 1.1 мы рассмотрели случай, когда ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ - расходится, где $f(m)$ - сильно аддитивная арифметическая функция. Теперь рассмотрим случай, когда данный ряд сходится. В этом случае справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.1

Пусть существует сильно аддитивная арифметическая функция $f(m), m=1,...,n$, для которой ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ сходится и асимптотики среднего значения и дисперсии $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ соответственно равны: $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}, \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ тогда:

1.Можно построить случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных величин, принимающих два значения, имеющую такое же предельное распределение, как $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$, для которой асимптотики среднего значения и дисперсии соответственно равны: $A(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D(n) \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.

2.Асимптотика центрального момента $k$-ого порядка для $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ определяется по формуле:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$$

Доказательство похоже на доказательство утверждения 1.1.

Доказательство

Кубилюс доказал, что в случае, когда для сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ ряд $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$ сходится, то $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельное распределение. При этом предельное распределение $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ совпадает с предельным распределением суммы случайных величин $\sum_{p \leq n} X_p$ при $n \to \infty$, где $X_p$ - независимые случайные величины, каждая принимающие два значения.

Построим данную случайную величину. Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=f(p)/p,D[X_p]=f^2(p)/p$.

Определим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}, D[S_n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ т.е. равны асимптотикам соответственно среднего значения и дисперсии $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$. Таким образом, совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$.

Следовательно мы доказали первую часть утверждения. Теперь докажем вторую часть. Так как совпадают предельные распределения $f(m), m=1,...,n$ и $S_n$ при $n \to \infty$, то совпадают и центральные моменты всех порядков. Поэтому достаточно определить центральные моменты у случайной величины $S_n$.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p^k}$.

Таким образом, центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$ равен:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=\frac{f^k (p)} {p}+O(\frac{f^k (p)} {p^2})$.

Получаем,что центральный момент $k$ -ого порядка для $S_n$:
$E[S^k,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+o(\sum_{p \leq n}\frac{f^k (p)} {p})$, т.е. $E[S^k,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$

Следовательно, мы доказали вторую часть утверждения.

Утверждение 3.1

Пусть существует сильно аддитивная арифметическая функция $f(m)$, для которой ряд $\sum_{p =2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p}$ - сходится и $|f(p)| \leq C$, где $p$ - простое число, а $C$- постоянная.

Тогда центральный момент $k$ -ого порядка для $f(m)$ при $k \geq 2$ является ограниченным.

Доказательство

Проведем доказательство методом математической индукции.
На основании утверждения 2.1 асимптотика центрального момента $k$- ого порядка для $f(m), m=1,...,n$ при $n \to \infty$ определяется по формуле:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}.$$

Для $k=2$ на основании сходимости ряда $\sum_{p =2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p}$ получаем:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}=O(1)$$

- базис индукции.

Предположим, что асимптотика $k$-ого центрального момента равна:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}=O(1).$$

Так как $|f(p)| \leq C$, то:

$$\sum_{p \leq n} \frac {|f^{k+1}(p)|}{p} \leq C \sum_{p \leq n} \frac {|f^{k}(p)|}{p}=O(1).$$

Следовательно:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^{k+1}(p)}{p}=O(1)$$

- шаг индукции.

Пример $f(m)=\ln \frac {\varphi(m)}{m}$ - сильно аддитивная арифметическая.

$$f(p)=\ln \frac {\varphi(p)}{p}=\ln \frac{p-1}{p}.$$

Проверим сначала ограниченность функции $f(p)$:

$$|\ln(1-1/p)| \leq |\ln(1-1/2)|=\ln2.$$

Покажем теперь сходимость ряда $\sum_p \frac {f^2(p)}{p}$:

$$\sum_p \frac {f^2(p)}{p}=\sum_p \frac {(\ln(1-1/p))^2}{p}=\sum_p \frac {(-1/p+1/2p^2-2/3!p^3+...)^2}{p}=\sum_p {(1/p^3+ o(1/p^3))}$$

- сходится.

На основании утверждения 3.1 данная функция имеет только ограниченные центральные моменты всех порядков.

[vicvolf]

Утверждение 4.1

Пусть $f(m)$ - действительная аддитивная арифметическая функция и для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, где $D(n)$ - дисперсия $f^*(m)$. Тогда $f(m),f^*(m)$ имеют одинаковые предельные распределения и асимптотики моментов всех порядков.

Доказательство

Так как для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется условие $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, то она принадлежит классу $H$.

Это значит, что: $f^*(p^{\alpha})=f^*(p)=f(p), (\alpha=1,2,...)$.

Поэтому $f(m)$ также принадлежит классу $H$, как и $f^*(m)$.

Следовательно, $f(m),f^*(m)$ имеют одинаковые предельные распределения и асимптотики моментов всех порядков.



Рассмотрим пример. Найти асимптотики всех моментов арифметической функции $f(m)=\Omega(m)-\ln \frac {\varphi(m)}{m}$.

Арифметическая функция $f(m)=\Omega(m)-\ln \frac {\varphi(m)}{m}$ является разностью двух действительных аддитивных арифметических функций, поэтому является действительной аддитивной арифметической функцией.

Немного позже мы покажем, что в данном случае $D(n) \sim 2\ln\ln(n)$, поэтому выполняется условие $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$ и поэтому $f^*(m)=\sum_{p|m}(\Omega(p)-\ln \frac {\varphi(p)}{p})$ принадлежит классу $H$.

Так как выполняются условия утверждения 4.1, то $f(m),f^*(m)$ имеют одинаковые предельные распределения и асимтотики моментов всех порядков, поэтому достаточно найти асимптотики центральных моментов функции $f^*(m)=\sum_{p|m}(\Omega(p)-\ln \frac {\varphi(p)}{p})$.

На основании утверждений 1.1 и 2.1 асимптотика центрального момента $k$ - ого порядка для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}(\Omega(p)-\ln \frac {\varphi(p)}{p})=1-\ln(1-1/p)$ определяется следующим образом:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^{*k}(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {(1-\ln(1-1/p))^k}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1-k(\ln(1-1/p)))^{k-1}+k(k-1)/2(\ln(1-1/p)))^{k-2}+...+(-1)^k}{p}$.

Поэтому, если $k \geq 1$ и нечетно, то получим следующую асимптотику момента $k$- порядка для $f^*(m)$:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^{*k}(p)}{p}=$$\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}-k\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+k(k-1)/2\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+...-\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}=O(1)$.

В случае, если $k$ - четно, то получим следующую асимптотику момента $k$- порядка для $f^*(m)$:

$\sum_{p \leq n} \frac {f^{*k}(p)}{p}=$$\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}+k\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+k(k-1)/2\sum_{p \leq n} \frac {1}{p^k}+...+\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}=2\ln\ln(n)+O(1)$.

Таким образом, действительно: $D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^{*2}(p)}{p}\sim 2\ln\ln(n)$.

Асимптотика среднего значения $f^*(m)$ равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac {1-\ln(1-1/p)}{p}=$$\sum_{p \leq n} \frac {1}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {\ln(1-1/p)}{p}=\ln\ln(n)+O(1)$.

На основании утверждения 4.1 аналогичную асимптотику имеют моменты действительной аддитивной арифметической функции $f(m)=\Omega(m)-\ln \frac {\varphi(m)}{m}$

Утверждение 5.1

Пусть $f(m),g(m)$ - действительные аддитивные арифметические функции и $f(p)=g(p)$, где $p$ -произвольное простое число, и для дисперсии сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется условие: $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$. Тогда $f(m),g(m),f^*(m),g^*(m),(g^*(m)=\sum_{p|m}g(p))$ имеют одинаковые предельные распредельния и асимптотики моментов всех порядков.

Доказательство

Так как для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p)$ выполняется условие: $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, то $f^*(m)$ принадлежит классу $H$. Учитывая, что $f(p)=g(p)$, то сильно аддитивная арифметическая функция $g^*(m)=\sum_{p|m}g(p)$ также принадлежит классу $H$. Поэтому выполняется:

$f^*(p^{\alpha})=f^*(p)=f(p)=g(p)=g^*(p)=g^*(p^{\alpha}),\alpha=1,2,...$.

Это значит, что действительные аддитивные и сильно аддитивные арифметические функции $f(m),g(m),f^*(m),g^*(m)$ принадлежат классу $H$, и поэтому имеют одинаковые предельные распредельния и асимптотики моментов всех порядков.

Следствие 6.1

Все действительные аддитивные арифметические функции, совпадающие на последовательности простых чисел, имеют одинаковую сильно аддитивную арифметическую функцию. Если дисперсия данной арифметической функции удовлетворяет условию : $\ln D(n)=o(\ln\ln(n))$, то все указанные действительные аддитивные и сильно аддитивная арифметическая функция имеют одинаковые предельные распределения и асимптотики моментов всех порядков. Это значит, что указанные арифметические функции образуют классы эквивалентности по предельному распределению и асимптотикам моментов данных функций и данные классы эквивалентности не пересекаются между собой.

[Lia]

Тема закрыта, как перешедшая в режим блога.

Если нужен блог, то это не здесь.
Если публикация - тем более.