ДУ по его решению

[Лукомор]

Вопрос скорее всего глупый, но, а вдруг?

Допустим у нас есть функция, которая может быть общим решением (одним из) некоторого дифференциального уравнения.
Вопрос:
Можно ли по данной функции восстановить вид дифференциального уравнения, и, если да, то как?

[Евгений Машеров]

Ну, наверно, можно, но однозначности не будет.

[Mihr]

Для гладкой функции можно написать сколько угодно дифференциальных уравнений, одним из решений которых служит именно данная функция.

Лукомор в сообщении #1510130 писал(а):

если да, то как?

Дифференцируете функцию от одного до $n$ раз (сколько заблагорассудится). Из полученных производных составляете какое угодно выражение (например, складывая уравнения, получающиеся при дифференцировании, возможно, предварительно домножая на какие-то функции, перемножая эти уравнения, строя композиции и т.д.). На любом этапе подобных "забав" у Вас будет получаться ДУ, одним из решений которого служит исходная функция.

[Лукомор]

Mihr в сообщении #1510145 писал(а):

Дифференцируете функцию от одного до $n$ раз (сколько заблагорассудится).

Спасибо!
Я как-то так и думал...

Что мне не ясно теперь:
Если функция от двух-трех аргументов, как дифференцировать?
В смысле найти полный дифференциал, или по очереди дифференцировать по каждому аргументу,
или только по одному из них?

[Mihr]

А какая разница? Стройте частные производные по любым аргументам и делайте с ними (с частными производными и самой функцией) что хотите.

[Лукомор]

Mihr в сообщении #1510156 писал(а):

и делайте с ними (с частными производными и самой функцией) что хотите.

Спасибо!
Вопрос исчерпан...

[Legioner93]

Лукомор в сообщении #1510130 писал(а):

общим решением (одним из)

Так общим или одним из?

С общим вопрос, имхо, интересный: пёс его знает, как в общем случае элиминировать эти $C_1, C_2...$

[ИСН]

Да очень просто: по очереди отщепляем их подходящими преобразованиями в отдельные слагаемые и убиваем дифференцированием.

[Legioner93]

ИСН
Из какого пространства будут эти подходящие преобразования?

[arseniiv]

Стоит сначала тогда привести общий вид общего решения. Ещё окажется, что понимали немного разные виды.

-- Сб мар 20, 2021 23:52:29 --

Если представить, что это $F(C_1, \ldots, C_n, x)$ для известной $F \colon \mathbb R^{n + 1} \to \mathbb R$, то выглядит достаточно страшно. И пусть даже для простоты эта $F$ аналитическая (вся, не по $x$!). ИСН говорит нам обращать её по каждому аргументу по очереди и что-то там доводить, и через обращения, не ставя себе цели выразить их в виде ряда (это ведь отдельная история) по идее должно быть можно выписать всё явно… Хотя что делать в ситуации, когда она не при всех иксах обратима по интересующему аргументу? Или такого не получится?

-- Вс мар 21, 2021 00:04:36 --

Что-то однако не отщепляется.

[Sender]

Можно испробовать другой подход. Найти первые $n$ производных функции $F$ (по x, само собой), потом с помощью получившихся $n$ уравнений исключить все $C_i$.

-- Сб мар 20, 2021 23:08:34 --

Кстати, можно сказать, что это означает подобрать функцию $G(y_1,\dots,y_n,x)$, такую, что $G\bigg(\frac{\partial F}{\partial x},\dots,\frac{\partial^n F}{\partial x^n},x\bigg)$ не зависит от $C_1,\dots,C_n$, иными словами, всего-то надо решить систему

$$\frac{\partial G\bigg(\frac{\partial F}{\partial x},\dots,\frac{\partial^n F}{\partial x^n},x\bigg)}{\partial C_1}=\dots=\frac{\partial G\bigg(\frac{\partial F}{\partial x},\dots,\frac{\partial^n F}{\partial x^n},x\bigg)}{\partial C_n}=0.$$

[ИСН]

Давайте пример, что ли. Пусть общим решением будут... все полуокружности. (Плюс-минус добавьте по вкусу.)

$$y=C_1+\sqrt{C_3-(x-C_2)^2}$$

Одну константу можно убить сразу, это хорошо.

$$y'={(x-C_2)\over\sqrt{C_3-(x-C_2)^2}}$$

Начинаем вытаскивать другую.

$$y'^2={(x-C_2)^2\over C_3-(x-C_2)^2}$$

$${y'^2\over y'^2+1}={(x-C_2)^2/C_3}$$

$${y'\over\sqrt{y'^2+1}}={x-C_2\over\sqrt C_3}$$

Так, вторая пошла.

$${y''\over(y'^2+1)^{3/2}}={1\over\sqrt C_3}$$

(Уравнение как бы говорит нам "кривизна равна константе", то есть мы на верном пути.)
И тут же третья. Результат выписывать лень.
Я вот это имел в виду, ничего более хитрого.

[arseniiv]

ИСН в сообщении #1510265 писал(а):

Я вот это имел в виду, ничего более хитрого.

Ну это вы хорошо описали и сначала, я лично понял. Но этот пример простой, с ним мало у кого были бы проблемы (наверно), а вот что в общем случае делать… к счастью, уже предложил Sender.

[Legioner93]

ИСН в сообщении #1510265 писал(а):

Пусть общим решением будут... все полуокружности

ИСН в сообщении #1510265 писал(а):

Уравнение как бы говорит нам "кривизна равна константе"

ИСН в сообщении #1510265 писал(а):

$${y''\over(y'^2+1)^{3/2}}={1\over\sqrt C_3}$$

Отлично, получилось (если забить на области определения $C_i$) $\kappa(x)' = 0$. То есть искомое преобразование находит инвариант семейства кривых $F(C_1, \ldots, C_n, x)$, в данном случае $\kappa(x)$.