Полусвертки гауссовских функций

[_hum_]

Определим для любых абсолютно-интегрируемых функций $f_1$ u $f_2$ операцию "полусвертки" $(f_1\, @ f_2)(t) = \int_{0}^{\infty}f_1(s)f_2(t-s)ds$ (отличие от свертки - нижний предел интегрирования).

Пусть $\varphi_{m,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2}}$. И пусть для любых $k\in\mathbb{N}, \Delta>0$

$$\psi_{m,\sigma,k,\Delta}(x) = \varphi_{m,\sigma}\, @\, \varphi_{m-\Delta,\sigma} \, @\, \varphi_{m-2\Delta,\sigma} \, @ \,... \, @\, \varphi_{m-k\Delta,\sigma} (x).$$

Требуется в конечном итоге хотя бы для какого-то $p > 0$ найти аналитическое выражение (для дальнейшего анализа зависимости от параметров $m,\sigma,k,\Delta$) для величин:

$$I_p^-=\int_{-\infty}^{0}|x|^p \psi_{m,\sigma,k,\Delta}(x) dx ,\quad I_p^+=\int_{0}^{\infty}|x|^p \psi_{m,\sigma,k,\Delta}(x) dx,$$

ну или в худшем случае хотя бы для:

$$I_p=\int_{-\infty}^{\infty}|x|^p \psi_{m,\sigma,k,\Delta}(x) dx.$$

Из свойств полусвертки вытекает, что если плотности в них почти все сосредоточены на положительной полуоси, то получаются обычные свертки, а значит, все легко считается. Проблемы начинаются при приближении к отрицательным областям.
Для случая двух плотностей удается получить полусвертку плотностей в явном виде:

$$ \varphi_{m_1,\sigma_1}\, @\,\varphi_{m_2,\sigma_2}(x) =\varphi_{m_1+m_2,\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}(x)\,\frac{1}{2}\Bigg(1\,+\,\mathrm{erf}\Bigg(\frac{x-\Big(m_2-m_1\dfrac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\Big)}{\sqrt{2}\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\,\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}}\Bigg)\Bigg)$$

А вот дальше проблемы, поскольку интегралы становятся неберущиеся.
Может, имеет смысл посмотреть в сторону разложения функции $\mathrm{erf}$ через гауссовские функции с помощью Bürmann series, чтобы интегралы опять начали браться и, более того, опять получаться состоящие из произведений гауссовских функций на $\mathrm{erf}$, то есть, опять позволяющие повторять шаги с разложением?
Смущает, что
1) исходное разложение выполнено только для одной полуоси, и соответственно, требует использования функции $\mathrm{sign}$ для продолжения на другую. Из-за этого значительно увеличивается громоздкость результатов интегрирования;
2) если это все делать в лоб, то громозкость вычислений пугает (надо будет каждый раз в одни ряды подставлять другие, приводить подобные при одинаковых степенях...).
Может, есть какие-то обходные пути? Буду благодарен за советы.