Изоморфизм групп для R и C

[vpb]

Someone в сообщении #1505865 писал(а):

Ничего подобного. Так невозможно ни писать, ни читать. Но математик должен написать его так, чтобы, приложив достаточно большие усилия, написанный им текст возможно было переписать в таком виде, восполнив все "очевидные" пропуски. В противном случае коллеги сочтут доказательство ошибочным.

Да, я в общем с Вами согласен. Правда, я думаю, что проверить, можно ли какой-то текст переписать в формализованном виде, это очень трудоемко. Ведь для этого, строго говоря, и надо его переписать в таком виде. На практике всё равно всё сводится к тому, что человек смотрит, нет ли у него (или в чужом тексте) пробелов в рассуждениях, видимых "на глаз".

[demolishka]

vpb в сообщении #1505660 писал(а):

Аксиому выбора считаем очевидной, непосредственно данной нам в ощущениях (с).

Вот отсюда и берутся "парадоксы" типа Банаха-Тарского. Раз "все очевидно и из ощущений", то люди начинают делить апельсины и, как следствие, "парадокситься" от несостыковок с формальным утверждением, хотя в самом утверждении никаких апельсинов нет.

Такого рода "парадоксы" и неконструктивность, порождаемая аксиомой выбора, - это плата за общность рассуждений, без которых математика бы не развивалась.

[geomath]

Я не понял, что сложнее: построить аддитивную биекцию или чтобы у нее значения были действительные?

[Someone]

vpb в сообщении #1505873 писал(а):

Правда, я думаю, что проверить, можно ли какой-то текст переписать в формализованном виде, это очень трудоемко.

Не всё так плохо. Аксиоматика распространённых теорий множеств (ZFC, NBG) специально выбрана так, чтобы обычно применяемые математические рассуждения были формализуемы. В частности, аксиома выбора включена как раз по этой причине: математики часто применяют рассуждения, для формализации которых нужна аксиома выбора. Для людей проблема с формализацией в том, что формализованные доказательства сколько-нибудь нетривиальных утверждений совершенно необозримы и трудно воспринимаемы. Хотя с последним, наверное, можно натренироваться. Но читать десятки и сотни страниц тривиальных рассуждений в доказательстве несложного утверждения… Вот полюбуйтесь: http://us.metamath.org/mpeuni/mmset.html#trivia (обсуждается доказательство того, что в поле комплексных чисел $2+2=4$).

В действительности причиной неконструктивности является вовсе не аксиома выбора, которая всего лишь утверждает непустоту некоторого множества (а именно, множества функций выбора для каждого семейства непустых множеств). Источником неконструктивности в данном случае является также широко применяемое рассуждение "поскольку множество непусто, в нём содержится некоторый элемент $x$; возьмём этот элемент $x$ и сделаем с ним то, что нам нужно". При этом никакого конкретного элемента $x$ не указывается, есть только его обозначение. Это рассуждение чаще используется само по себе, без всякой аксиомы выбора. Кроме этого рассуждения, в классической математике есть и другие неконструктивные рассуждения, например, доказательства от противного; или доказывается формула вида $A\vee B$, но не указывается, что именно доказано: $A$ или $B$.
Кстати, в конструктивной математике аксиома выбора вполне может быть истинной (с каким-то ограничением на определение семейства множеств, к которому она применяется; я в детали не вникал, потому что это далеко от того, чем я интересовался). Резон такой: если у нас есть конструктивно определённое семейство конструктивных множеств, которые все являются конструктивно непустыми (последнее означает, что в каждом из этих множеств мы можем конструктивно указать некоторый элемент), то почему бы нам не построить конструктивную функцию выбора? На надо сказать, что существует много вариантов конструктивизма, в которых эта конструктивность понимается по-разному.

Что касается "парадокса" Банаха–Тарского, то, наверное, достаточно понимать, что абстрактный шар, существующий исключительно в нашем воображении, и реальный апельсин — немного разные вещи, и что по крайней мере в некоторых случаях абстрактный шар может оказаться плохой моделью реального апельсина.

[Sycamore]

можно ли привести некую «эвристическую» мотивацию недоказуемости якобы «интуитивной» аксиомы выбора?

[ET]

И то и другое - векторное пространство над $Q$ И там и там базис Гамеля континуален, то есть они равномощны
А вот прямо чтоб построить, это уже сложнее

[arseniiv]

Sycamore в сообщении #1509278 писал(а):

можно ли привести некую «эвристическую» мотивацию недоказуемости якобы «интуитивной» аксиомы выбора?

Это вы просите на пальцах объяснить вам форсинг (вынуждение). Не уверен, что это возможно.

Аксиома выбора также совершенно не должна кому-то казаться интуитивной, чтобы её хотели использовать:

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice#Independence писал(а):

One argument given in favor of using the axiom of choice is that it is convenient to use it because it allows one to prove some simplifying propositions that otherwise could not be proved. Many theorems which are provable using choice are of an elegant general character: every ideal in a ring is contained in a maximal ideal, every vector space has a basis, and every product of compact spaces is compact. Without the axiom of choice, these theorems may not hold for mathematical objects of large cardinality.

The proof of the independence result also shows that a wide class of mathematical statements, including all statements that can be phrased in the language of Peano arithmetic, are provable in ZF if and only if they are provable in ZFC.[16] Statements in this class include the statement that P = NP, the Riemann hypothesis, and many other unsolved mathematical problems. When one attempts to solve problems in this class, it makes no difference whether ZF or ZFC is employed if the only question is the existence of a proof. It is possible, however, that there is a shorter proof of a theorem from ZFC than from ZF.

[Sycamore]

спасибо, всё собрано в одном месте; вроде забыл было, что ОГК (обобщённая гипотеза континуума) вызывает аксиому выбора.