«Комплексификация» кольца, маленький вопросик

[arseniiv]

Тема «Комплексные числа» вчера зародила во мне вопрос. Как мы знаем, любое кольцо — это алгебра над кольцом $\mathbb Z$. Это даст нам использовать тензорное произведение алгебр в следующем предложении. Для кольца $R$ изоморфны ли естественным образом $R[i]$ и $R \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[i]$ или это вообще разные штуки? (Пока что я надеялся, что одинаковые.)

Мне надо бы просто сесть и прокрутить всё по определению тензорного произведения (модулей, так как чисто алгебраическое добавление о том как определять умножение, намного прозрачнее разбирать), но как-то всё неосуг, так что может хотя бы кто-то просто скажет.

И вообще мне надо бы наверно разобрать хотя бы даже пример $R = \mathbb Z / m \mathbb Z$. Знаете ли вы, показательный ли он; стоит ли мне взяться за текстовый редактор и разобрать его уже?

[vpb]

arseniiv в сообщении #1508728 писал(а):

Для кольца $R$ изоморфны ли естественным образом $R[i]$ и $R \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[i]$ или это вообще разные штуки?

Да, конечно. Если по бурбаковски, то они не просто естественно изоморфны, а это одно и то же по определению. Т.е. конструкция с тензорным произведением --- это определение того, что такое расширение области скаляров алгебры. А то, кольцо с расширенной таким образом областью скаляров изоморфно множеству пар элементов из кольца, с очевидным образом определенными операциями сложения и умножения --- теорема (довольно тривиальная). Наконец, отметим, что исходное кольцо не обязано быть коммутативным.

[arseniiv]

Спасибо! Значит всё же есть какая-то небольшая интуиция в этом месте, хотя мне стоило самому всё вывести конечно.