Весы и часы

[powerZ]

Munin писал(а):

У меня получается
$m_1\ddot{x}=-m_1g+Q,\quad Q=\mathrm{const}$
$m_2\ddot{y}=-ky-Q-\lambda\dot{y}$
в пределе $ky\gg\lambda\dot{y},\,\, m\ddot{y}$ остаётся
$Q=-ky$

Munin, объясните пожалуйста, что здесь что. Что за константа $Q$? И почему она в пределе перестала быть константой: $Q=-ky$?

[Munin]

Константа $Q$ - это сила трения скольжения. Она же постоянна, не так ли? Далее, она же равна силе, с которой весы действуют на груз (стандартное обозначение $N$), и - по модулю - весу системы $P$. Поэтому она входит и в уравнение движения чашки весов, которое складывается также из возвращающей силы $-ky$ и тормозящей $-\lambda\dot{y}$. Уравнение $Q=-k\undeline{y}$ - это уравнение не относительно $Q$, а относительно $y$ - единственной входящей в него переменной (в общем случае оно выглядит как $P=-ky$, и может разрешаться в обе стороны).

Извините меня, что я не выписывал всякие уравнения типа $Q=N$.

[powerZ]

Хорошо. Но тогда вместо составляющей силы тяжести $m_1 g$ на чашку весов действует постоянная сила $Q$. Очевидно из физических соображений, что эта сила будет меньше $m_1 g$. Значит установившееся значение координаты $y$ в процессе скольжения будет:

$ y = - Q/k $

Установившееся значение при неподвижном грузе было:

$ y = - (m_1+m_2)g/k $

Значит, если
$Q < m_1 g < (m_1+m_2)g $,

то весы покажут меньший вес. Что и требовалось доказать?

Добавлено спустя 22 минуты 26 секунд:

P.S. Но здесь конечно не идет речь о равномерном движении.

[Munin]

powerZ в сообщении #150569 писал(а):

Установившееся значение при неподвижном грузе было:
$ y = - (m_1+m_2)g/k $

Нет, $y=-m_1g/k$. Весы же не должны взвешивать сами себя :-)

powerZ в сообщении #150569 писал(а):

P.S. Но здесь конечно не идет речь о равномерном движении.

Вот именно. Теперь найдите собственно ускорение, и сравните: покажут весы вес минус это ускорение, или нет?

[Шимпанзе]

Munin в сообщении #150545 писал(а):

Скажите это Шимпанзе. Меня он не слушает, а руководствуется логикой "если знак совпадает, то речь идёт об одном и том же".

О чем речь не понял... Я руководствовался наиболее толковым соображением CD_Eater_ , который показал, что весы должны быть тяжелее. Согласился с этим, однако ж ясно и ежу что утяжеление обусловленное "торможением" центра тяжести для песочных часов будет столь мало, что его учитывать не следует. И надо объяснить почему весы в эксперименте не изменяют веса или становятся легче. Первое обстоятельство доказано. Осталось разобраться в каких случаях часы становятся легче вне зависимости от того пружинные весы или какие другие, не имеющие к делу никакого отношения, и лишь уводящие вопрос в сторону.

[powerZ]

Munin писал(а):

powerZ в сообщении #150569 писал(а):

Установившееся значение при неподвижном грузе было:
$ y = - (m_1+m_2)g/k $

Нет, $y=-m_1g/k$. Весы же не должны взвешивать сами себя

Елки палки, точно! Надо же было учесть массу чашки во втором уравнении! Ведь я рассматривал всю дорогу весы как пружинные. Поэтому они именно и должны взвешивать сами себя (то есть свою чашку):

$m_1\ddot{x}=-m_1g+Q,\quad Q=\mathrm{const}$
$m_2\ddot{y}=-m_2g-ky-Q-\lambda\dot{y}$

Но выводы от этого вроде не поменяются:

Перед скольжением:

$ y_1 = - (m_1g+m_2g)/k $

Во время скольжения:

$ y_2 = - (Q+m_2g)/k $

$Q<m_1g => |y_2|<|y_1|$

[Munin]

Хорошо, а теперь выразите разницу между $y_1$ и $y_2$ в терминах $(x-y)(t)$ и её производных.

Шимпанзе

Шимпанзе в сообщении #150592 писал(а):

О чем речь не понял...

Заметно.

[powerZ]

Munin писал(а):

Хорошо, а теперь выразите разницу между $y_1$ и $y_2$ в терминах $(x-y)(t)$ и её производных.

$ y_1- y_2 = (Q - m_1 g)/k = x'' \cdot m_1 / k $

Ну а раз $y$ установилось, то и

$x''=(x-y)''$

Добавлено спустя 7 минут 52 секунды:

Ну вобщем я понял, что весы должны эффективно гасить свои колебания. И тогда, если груз движется равномерно, то вторая производная равна нулю и разницы никакой не будет.

[Munin]

powerZ в сообщении #150807 писал(а):

$ y_1- y_2 = (Q - m_1 g)/k = x'' \cdot m_1 / k $

Отлично. Отсюда следует, что весы показывают ровно вес с учётом ускорения центра тяжести.

[powerZ]

Для меня интуитивно не понятно, почему сила трения не зависит от скорости. Я этот факт естественно не оспариваю, но все же хотелось бы знать, какие к этому есть объяснения.

[Munin]

Это отдельная тема. Большая и развесистая. Вкратце - это такой феноменологический закон. Приближённый, хотя в рамках повседневной жизни весьма хороший. В принципе, даже возникающий в каких-то простых теоретических моделях (видел в журнале "Квант" модель поверхности с косыми зубцами, она давала нужный закон). Реальная физика трения - сложные джунгли, до конца в нём не разобрались, известно несколько механизмов, но теоретически рассчитать его не получается.

Интуитивно - подумайте вот о чём. Если сила трения от скорости не зависит, то мощность - зависит или нет? И о чём вам больше говорит интуиция, о силе или о мощности?

[powerZ]

Да, конечно, я как раз об этом думал. Интуитивно мощность гораздо понятней. Например автомобиль едет с постоянной скоростью, двигатель потребляет некую мощность на предоление сопротивления воздуха и трение. При большей скорости сила сопротивления остается той же, но раз скорость возрасла, то и потребляемая мощность пропорционально увеличилась. То есть мы замечаем не увеличение силы, а увеличение мощности. Может и вместо силы тяжести на уровне ощущений мы воспринимаем именно мощность, когда держим гирю или тяжелый чемодан.

[Шимпанзе]

Munin писал(а):

Хорошо, а теперь выразите разницу между $y_1$ и $y_2$ в терминах $(x-y)(t)$ и её производных.

Шимпанзе

Шимпанзе в сообщении #150592 писал(а):

О чем речь не понял...

Заметно.

Видимо не достаточно заметно, если до некоторых не дошло.

[Munin]

Шимпанзе в сообщении #150916 писал(а):

Видимо не достаточно заметно, если до некоторых не дошло.

А что, до вас не дошло?

[Шимпанзе]

Munin писал(а):

Шимпанзе в сообщении #150916 писал(а):

Видимо не достаточно заметно, если до некоторых не дошло.

А что, до вас не дошло?

Две вещи. Почему до Вас еще не дошло и какое отношение имеют ваши "преобразования" к наблюдаемому снижению веса часов?