Однородности и сохранения

[Icarus]

Очень часто пишут про то, что законы сохранения связанны с какой-либо однородностью/изотропностью (симметрией?) пространства/времени, но как-то нигде не пишется доказательства этого замечательного факта. Из википедии я понял, что там происходят какие-то манипуляции с лагранжианом, но с аналитической механикой я еще не очень хорошо знаком. Законы сохранения формулируются для замкнутых систем, но ведь однородность/изотропность пространства не должна зависеть от системы или же то, что используется лагранжиан уже подразумевает замкнутость? И нарушают ли однородность времени массивные объект и вообще всякие релятивистские штучки или же однородность означает, что хоть время и будет идти по-другому, но в прошлом и будущем оно будет идти по-другому точно так же?

[realeugene]

Icarus в сообщении #1508248 писал(а):

но как-то нигде не пишется доказательства этого замечательного факта

Серьёзно? Нигде-нигде про это не пишут?

Это называется "Теорема Нётер". Погуглите.

[Icarus]

realeugene
Иногда стоит читать больше одного предложения...

realeugene в сообщении #1508257 писал(а):

Серьёзно? Нигде-нигде про это не пишут?

Ссылки в гугле ведут только на научно-популярные объяснения, в курсах общей физики я встречал какие-то попытки объяснить на пальцах (Сивухин, Лозовский), но мне показалось это слишком искусственно и необоснованно, также я не нашел доказательства теоремы ни у Ландау, ни у Маркеева в курсах теоретической механики, есть в самом конце у Голдстейна, но, кажется, в каком-то частном случае и ответы на свои наивные вопросы я там не нашел, либо же не понял...

[DimaM]

Icarus
Педивикия дает ссылку на книжки: Арнольд В. И. Математические методы классической механики, Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике, а также Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление.
Кроме того, там можно ознакомиться с английским переводом оригинальной статьи.

[Icarus]

DimaM
Спасибо, конечно, но я не очень понимаю как из "однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного пространства многообразия лагранжевой системы, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл уравнения движения" следуют ответы на мои вопросы...

[realeugene]

"Нигде не пишется доказательство" и "я не понимаю доказательство" - это немного разные постановки вопроса

[Icarus]

realeugene
Да, согласен. Коряво выразился. Наверное стоило так: в тех курсах общей физики, которые я читал и в которых этот замечательный факт так часто упоминается, не приводятся удовлетворительных для меня объяснений как это получается и как тогда ответить на мои вопросы из стартового топика. К объяснениям же из математических курсов я еще видимо не готов, поэтому и задаю эти вопросы здесь, но Вы либо сами не знаете, либо не хотите объяснять, тогда я лучше отложу эти вопросы на будущее, когда буду более подготовлен.

[Slav-27]

Icarus в сообщении #1508248 писал(а):

Законы сохранения формулируются для замкнутых систем

Да.

Icarus в сообщении #1508248 писал(а):

но ведь однородность/изотропность пространства не должна зависеть от системы

Да.

Icarus в сообщении #1508248 писал(а):

или же то, что используется лагранжиан уже подразумевает замкнутость?

Нет, бывают и незамкнутые системы, описывающиеся лагранжианом.
Наличие сохраняющихся величин связано не с самими симметриями пространства, а с тем, что конкретная система инвариантна относительно этих симметрий в следующем смысле.
1) Зададим какие-то начальные условия и запустим эволюцию системы.
2) Зададим начальные условия, отличающиеся от предыдущих на симметрию, запустим эволюцию системы и применим обратную симметрию.
В итоге всегда должно получаться одно и то же. Не любая система обладает таким свойством.

Строгую математическую формулировку можно найти, как советуют выше, у Арнольда либо, в чуть более общем виде, у Гельфанда-Фомина (лучше всего брать 2-е английское издание).

(Бывают и сохраняющиеся величины, которые не связаны с симметриями пространства.)

Icarus в сообщении #1508248 писал(а):

И нарушают ли однородность времени массивные объект и вообще всякие релятивистские штучки

Да, в общей теории относительности однородность времени не имеет места, и с сохранением энергии там сложно.

[physicsworks]

Icarus в сообщении #1508325 писал(а):

Ссылки в гугле ведут только на научно-популярные объяснения, в курсах общей физики я встречал какие-то попытки объяснить на пальцах (Сивухин, Лозовский), но мне показалось это слишком искусственно и необоснованно, также я не нашел доказательства теоремы ни у Ландау, ни у Маркеева в курсах теоретической механики, есть в самом конце у Голдстейна, но, кажется, в каком-то частном случае и ответы на свои наивные вопросы я там не нашел, либо же не понял...

на уровне общефиза Лагранжев подход вообще мало где обсуждается, но есть в David Morin, Introduction to Classical Mechanics With Problems and Solutions (Chapter 6) вместе с теоремой Нетер и простыми примерами и задачами. На ступеньку выше можно почитать у Б.В. Медведева в его "Началах теоретической физики", прямо с самого начала и читайте, там на первых трех десятках страницах должны найти ответы на большинство из ваших вопросов. Арнольда и прочих я бы пока не открывал, почитаете когда будете уже понимать лагранжеву механику.

-- 08.03.2021, 22:01 --

Ну, а затем (в свое время) не забудьте изучить как эти все баллады о симметрии и законах сохранения переносятся на квантовую механику.

[Icarus]

Slav-27
Спасибо, интересно!

Slav-27 в сообщении #1508375 писал(а):

Да, в общей теории относительности однородность времени не имеет места, и с сохранением энергии там сложно.

Ого, круто...

physicsworks
Хорошо, книжки скачаю, спасибо!

[Kamaz]

Icarus
Ландау-Лифшиц. Курс теоретической физики. Том 1. Механика. Глава II. Законы сохранения.

[Gravitino]

Icarus в сообщении #1508461 писал(а):

Slav-27 в сообщении #1508375 писал(а):

Да, в общей теории относительности однородность времени не имеет места, и с сохранением энергии там сложно.

Ого, круто...

Я бы выразился мягче, сказав, что там эти принципы просто сложнее.
Законы физики одинаковы во всех точках пространства-времени - это фундамент всей физики, откуда все и проистекает.
Но неоднородная зависимость может быть в самих полях, в частности в геометрических характеристиках, что может вызывать некоторые технические сложности.

[computer]

Смотря что называть сохранением. Например, сохранение электрического заряда физический факт, но к пространству-времени кажется не имеет отношения.

-- Чт мар 11, 2021 00:13:36 --

Если речь только об энергии, стоит сразу это уточнить.

[physicsworks]

computer в сообщении #1508625 писал(а):

Например, сохранение электрического заряда физический факт, но к пространству-времени кажется не имеет отношения

имеет