Положение основания высоты пирамиды

[add314]

Здравствуйте! Есть такая школьная задачка (программа 11 класс) на пирамиду.

В основании пирамиды лежит треугольник $\Delta ABC$, $AB =15 см$, $BC = 26 см$, $AC = 37 см$. Грань $SBC$ перпендикулярна плоскости основания, а ребро $SA = 12\sqrt{2}$. Найти площадь грани $SBC$.

Вопрос заключается в построении, от которого зависит дальнейшее решение. Из следствия теоремы косинусов ясно, что треугольник в основании - тупой. Также ясно, что высотой пирамиды, будет высота грани $SBC$. Однако не ясно куда попадёт основание высоты. Этот момнет тщетно пытался объяснить всеми возможными способами. Преподаватель говорит, что для построения нужно находить (строить) линейный угол двугранного угла плоскостей $(ABC)$ и $(SBC)$. И это похоже единственный вариант построения, при котром можно найти решение. Но почему нельзя провести высоту произвольно, учитывая то, что её основание будет принадлежать ребру двугранного угла? Грамотно ли в принципе дано условие задачи?
P.S. Также ясно, что высота, основание которой находится на ребре двугранного угла, ограничена в некоторых пределах, т.к. дана длина отрезка $SA$.

Пример построения:

[svv]

Пусть $O$ — проекция $A$ на $BC$ (т.е. $AO$ — высота $ABC$), но необязательно проекция $S$ на плоскость основания. Тогда $AO=OS=12$.
Теперь постройте в плоскости $SBC$ окружность с центром $O$ и радиусом $12$ (незнание положения $S$ этому не помешает). Выбирайте на этой окружности любую точку (лишь бы не лежала на прямой $BC$) и считайте её точкой $S$. Все условия задачи будут соблюдены, но площадь $SBC$ будет зависеть от этого выбора. Изложите это преподавателю.

[add314]

svv в сообщении #1508184 писал(а):

Тогда $AO=OS=12$.

Ну это именно в том случае, если $O$ - проекция и $S$, и $A$. Но по окружности вопросов нет, с радиусом понятно, спасибо. Выходит, задача имеет бесконечное количество решений, хотя взята из задачника.

[redicka]

Задача сформулирована некорректно. Положение вершины S неоднозначно. См картинку.Согласно условию задачи вершина S может располагаться в любой точке черной окружности.
https://d.radikal.ru/d35/2103/56/7e795ed85ba0.jpg

[svv]

add314 в сообщении #1508208 писал(а):

Ну это именно в том случае, если $O$ - проекция и $S$, и $A$.

Нет, почему же? Это в общем случае, где бы на окружности ни располагалась вершина $S$. Вот картинка.

[add314]

svv в сообщении #1508229 писал(а):

Вот картинка

Все верно, здесь $SO=AO$, т.к. точка $O$ - их общая проекция. Однако если сдвигать точку $S$ по окружности, которая, кстати, лежит в плоскости $SBC$ (что Вы и написали), то длина высоты $SO$ будет меняться, полагаю, что обратно пропорционально(?) длине отрезка $AO$. Т.е. длина высоты $SO$ уменьшается, длина отрезка $AO$ увеличивается.

-- 07.03.2021, 15:00 --

svv в сообщении #1508184 писал(а):

Пусть $O$ — проекция $A$ на $BC$ (т.е. $AO$ — высота $ABC$), но необязательно проекция $S$ на плоскость основания. Тогда $AO=OS=12$.

Если не ошибаюсь, то, чтобы выполнялось условие $AO=OS=12$, просто необходимо, чтобы точка $O$ была и проекцией точки $A$, и проекцией точки $S$.

[svv]

У меня $O$ — это, как я сказал, не проекция $S$ на плоскость основания, а только проекция $A$ на $BC$, т.е. конец высоты $AO$.
И эта же точка — центр окружности, по которой можно гонять $S$. Тогда $SO$ постоянно, потому что все точки окружности равноудалены от центра.

Обозначим проекцию $S$ на плоскость основания через $M$. Вот $SM$ — да, может меняться от $0$ до $12$.

-- Вс мар 07, 2021 15:02:33 --

add314 в сообщении #1508232 писал(а):

Если не ошибаюсь, то, чтобы выполнялось условие $AO=OS=12$, просто необходимо, чтобы точка $O$ была и проекцией точки $A$, и проекцией точки $S$.

На картинке я как раз постарался изобразить общий случай. Что там не так?

[add314]

svv в сообщении #1508234 писал(а):

У меня $O$ — это, как я сказал, не проекция $S$ на плоскость основания, а только проекция $A$ на $BC$

Ага, я понял, что вы имели ввиду, благодарю за разъяснение.

-- 07.03.2021, 15:13 --

svv в сообщении #1508234 писал(а):

Что там не так

Нет, на картинке всё верно. Сначала не сообразил, что Вы имели ввиду. Рисунок правильный, это у меня немного некорректный ход мыслей был.

[svv]

Ок.

[redicka]

svv, У Вас картинка не информативна - не видно, что любое, допустимое S лежит в плоскости перпендикулярной основанию пирамиды и проходящей через
BC.