Отражение точки в биссектрисе

[Feldhamster]

Условие:

A non-isosceles triangle $A_1A_2A_3$ is given with sides $a_1; a_2; a_3$ ($a_i$ is the side opposite $A_i$). For all $i=1;2;3;$ $M_i$ is the midpoint of side $a_i$, and $T_i$ is the point where the incircle touches side $a_i$. Denote by $S_i$ the reflection of $T_i$ in the interior bisector of angle $A_i$. Prove that the lines $M_1S_1;M_2S_2;$ and $M_3S_3$ are concurrent.

Дан не равнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$ со сторонами $a_1; a_2; a_3$ ($a_i$ - сторона, противоположная $A_i$). Для всех $i$=1;2;3; $M_i$ - средняя точка стороны $a_i$, а $T_i$ - точка, в которой вписанная окружность касается стороны $a_i$. Обозначим через $S_i$ отражение $T_i$ во внутренней биссектрисе угла $A_i$. Докажите, что прямые $M_1S_1;M_2S_2;$ и $M_3S_3$ параллельны.

Попытка начать решение.

Построил два треугольника, с тупым углом и без:

(Рисунки)

Но линии $M_iS_i$ (красным) и близко не параллельны. Наверное, должны быть параллельны, раз в условии написано. Если только задача без подвоха. Видимо, неправильно понял условие. Были сомнения насчет отражений точек касания в биссектрисах. Я понял это так.

Провести через точку $T_i$ (на стороне $a_i$) перпендикуляр к биссектрисе угла $A_i$. Пусть $X_i$ это точка пересечения перпендикуляра с биссектрисой (на чертежах $X_i$ не обозначены). Отложить на продолжении перпендикуляра отрезок $X_iS_i$, равный $T_iX_i$. Также считает и Math Open Reference. И GeoGebra так же строит отражение, командой Reflect about line.

Что не так делаю?

[svv]

The lines $M_1S_1;M_2S_2;$ and $M_3S_3$ are concurrent — означает, что все три прямые пересекаются в одной точке. На Ваших чертежах это почти (из-за неточности построения?) так.
Concurrent lines

[Feldhamster]

Кажется, понял. Неправильный перевод слова concurrent. В данном случае:

Цитата:

concurrent lines — математика прямые, имеющие общую точку; сходящиеся прямые

Здесь нашел такую же задачу, только одно отличие: надо доказать, что линии $M_iS_i$ не параллельны, а имеют общую точку. Судя по вышеприведенным рисункам, на это похоже.

-- 07.03.2021, 05:09 --

svv в сообщении #1508185 писал(а):

The lines $M_1S_1;M_2S_2;$ and $M_3S_3$ are concurrent — означает, что все три прямые пересекаются в одной точке. На Ваших чертежах это почти (из-за неточности построения?) так.
Concurrent lines

Опередили. Спасибо.