Проблема в том, что во всех учебных примерах удается получить только оценку сверху для нормы оператора, но не само значение этой нормы.
Ну, положим, не во всех. Достаточно часто встречаются задачки, где надо найти именно норму.
Во всяком случае, Вам нужны 1) бесконечномерное пространство и 2) оператор с непустым непрерывным спектром.
Проще всего взять какую-нибудь ортонормированную последовательность (любую) и построить по ней самосопряжённый оператор, для которого элементы последовательности были бы собственными векторами. Надо только придумать подходящую последовательность собственных чисел (что тривиально).
Если же хочется конкретнее, то возьмите в
подходящий диагональный оператор (в соответствии с предыдущей идей).