Решения уравнения Маркова

[rightways]

Докажите, или опровергните, что существует бесконечно много троек $(x,y,z)$ натуральных чисел которые могут быть длинами сторон треугольника и удовлетворять уравнению

$$x^2+y^2+z^2=3xyz$$

то есть должны выполняться неравенства

$$$x+y>z$$

$$y+z>x$$

$$z+x>y$$

[ИСН]

Там это самое дерево, но оно не нужно, потому что, ну, пусть $x\le y\le z$; тогда $y>z-x$ и уж по крайней мере $y>z/2$, а дальше случаи.
1. $x=1$. Тогда $LHS\leqslant2z^2+1$, а $RHS\geqslant3z^2$. Сюда заходит решение $\{1,1,1\}$, а больше ничего.
2. $x=2$. Тогда $LHS\leqslant2z^2+4$, а $RHS\geqslant6z(z-1)$. Сюда ничего не заходит.
2. $x\geqslant3$. Тогда $LHS\leqslant3z^2$, а $RHS\geqslant{9\over2}z^2$. Сюда тоже ничего не заходит.

[rightways]

А существует ли квадратное уравнение трех переменных (желательно симметричное) которое имеет бесконечно много таких решении?

[Shadow]

rightways в сообщении #1507560 писал(а):

А существует ли квадратное уравнение трех переменных (желательно симметричное) которое имеет бесконечно много таких решении?

Квадратных конечно, например $5(x^2+y^2+z^2)=6(xy+yz+zx)$

Тут бесконечно много взаимнопростых решений, где $x<y<z,\; x+y>z$

Но уравнение Маркова не такое. Не поверхность 2-го порядка

[ИСН]

Вам шашечки или ехать квадратики или прыгать? Со штуками второго порядка всё просто, как Shadow говорит. С уравнениями порядка выше второго в совокупности, но второго по каждой переменной, чтобы можно было по ним прыгать, как по дереву - ну хоть, например, вот: $x^2 (y - z) + y^2 (z - x) + z^2 (x - y) = 6$. Но оно скучное.

[rightways]

Я хотел бы найти уравнение с "такими" решениями, и чтобы бесконечность решении можно было бы доказать прыжками Виета

[Shadow]

rightways в сообщении #1507817 писал(а):

Я хотел бы найти уравнение с "такими" решениями, и чтобы бесконечность решении можно было бы доказать прыжками Виета

Ну тогда сделаем так:

$x^2-(y+z)x+y^2+z^2-yz+C=0$

где $x_1< y<z$

Тогда будет решение $(x_2,y,z)$ где

$x_2=y+z-x_1$ с наибольшим $x_2$ и очевидно $y+z>x_2$

А $C$ выберем такое, чтобы было хорошее начальное решение.

-- 04.03.2021, 22:43 --

Короче, последотельность $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-3}$
Скучно