Каким методом можно решить данное УрЧП?

[Asphy]

Здравствуйте!
Каким методом можно найти частное решение данного УрЧП?

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial z}{\partial y}= e^{2x-y}$$

Решение способом " предположим,что решение выглядит так: $ z=Ae^{ax+by}$ "не считается :)
Пока что на уме было следующее:
Обозначим оператор производной по х как $ D_x$, по у - $D_y$.
Тогда левая часть уравнения может быть представлена как

$$ (D^2_x - D_y)z=[(D_x -\sqrt{D_y})(D_x +\sqrt{D_y})]z$$

Далее можно было бы обозначить $ (D_x +\sqrt{D_y})z=u$ и решить далее ДУ 1-го порядка $(D_x -\sqrt{D_y})u=e^{2x-y}$ и тд. Но проблема с корнем от оператора : непонятно,что с ним делать. Видимо ,метод представления исходного оператора в виде произведения операторов более низкого порядка в этом случае не работает.

Цитата:

В качестве упредительного маневра можно посмотреть метод Фурье разделения переменных

Не удается разделить переменные

[Dan B-Yallay]

Методом написания уравнения в Латехе здесь в теме, затем предоставления своих попыток решения, далее получения советов от знающих участников и в результате -- понимания как решать.

В качестве упредительного маневра можно посмотреть метод Фурье разделения переменных.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Red_Herring]

Asphy в сообщении #1495983 писал(а):

Каким методом можно найти частное решение данного УрЧП?
...
Решение способом " предположим,что решение выглядит так: "не считается :)

Если надо найти частное решение, то подобное ограничение неоправданно.

[Asphy]

Red_Herring

Цитата:

Если надо найти частное решение, то подобное ограничение неоправданно.

Согласен, но все же интересно, можно ли как-то иначе найти частное решение?

[Red_Herring]

Asphy в сообщении #1507539 писал(а):

можно ли как-то иначе найти частное решение

Противоестественно: поставить задачу Коши при $y=0$ (например, с $0$ нчальными данными) и решить ее.

[Dan B-Yallay]

Asphy в сообщении #1495983 писал(а):

Не удается разделить переменные

Вам же однородное уравнение всё равно решать.
Или не надо?

[novichok2018]

Попробуйте поискать в справочниках по нелинейным уравнениям Полянина/Зайцева и монографиях Капцова, если очень надо, конечно. Переменные в неоднородном уравнении не делятся, факт. Напоминает уравнение Пуанкаре, которое другими именами называют:

$$ \Delta u(x,y)=\exp(u), $$

подобные уравнения есть в процитированном.

[mihiv]

Разделение переменных применить все же можно. Для этого ищем частное решение исходного неоднородного уравнения в виде $z(x,y)=X(x)Y(y)$, подставим $z$ в уравнение:

$$\dfrac {X''}{X}-\dfrac {Y'}{Y}=\dfrac {e^{2x}}{X}\dfrac {e^{-y}}{Y}\eqno (1)$$

Продифференцируем (1) по $y$:

$$-\left (\dfrac {Y'}{Y}\right )'=\dfrac {e^{2x}}{X}\left (\dfrac {e^{-y}}{Y}\right )'\eqno (2)$$

Т.к. левая часть (2) не зависит от $x$, то $X(x)=c_1e^{2x}$. Если продифференцировать (1) по $x$, то аналогично получим $Y(y)=c_2e^{-y}$ и, следовательно, $z=ce^{2x-y}$. Осталось определить $c$.

[Asphy]

novichok2018 Благодарю за справочник!
mihiv Спасибо! Весьма просто и изящно