Верное ли решение

[toofack]

Добрый час, решил такую задачу: В последовательности положительных чисел $a_0,a_1....$ каждый из членов $a_n (n \in N)$ равен либо $\frac{a_{n-1}}{2}$ либо $\sqrt{a_{n-1}}$ Может ли эта последовательность иметь предел, принадлежащий (0, 1)?

Мое решение: Пусть предел существует и равен a, тогда $a = \frac{a}{2}$ либо $a = \sqrt{a} \Rightarrow a = 1$ либо $a = 0$. Ответ нет, так как если предел существует, то он равен либо 1, либо 0.

Зачли бы вы такое решение? Если нет, то поясните пожалуйста почему. Изначально решил через определение, где аккуратно доказал, что предел не может быть в (0, 1), но потом подумал о таком решении в строчку, и хотелось бы узнать на сколько оно корректно

[vpb]

toofack в сообщении #1507410 писал(а):

Если нет, то поясните пожалуйста почему.

Именно по причине неаккуратности.

[toofack]

vpb в сообщении #1507411 писал(а):

toofack в сообщении #1507410 писал(а):

Если нет, то поясните пожалуйста почему.

Именно по причине неаккуратности.

Можете подробнее, пожалуйста? Проблема в том, что неизвестно, чему равен следующий член последовательности?

[mihaild]

Проблема в том, что

toofack в сообщении #1507410 писал(а):

тогда $a = \frac{a}{2}$ либо $a = \sqrt{a}$

не доказано.

[toofack]

mihaild в сообщении #1507418 писал(а):

Проблема в том, что

toofack в сообщении #1507410 писал(а):

тогда $a = \frac{a}{2}$ либо $a = \sqrt{a}$

не доказано.

Не доказано равенство или существование предела? Просто существование можно доказать через монотонность и ограниченность, а равенство следует из его существования, или я не прав? Больше всего меня интересует можно ли эту задачу через ограниченность и монотонность? И если доказать существование предела, то чего ещё не хватает для корректности док-ва?

[mihaild]

toofack в сообщении #1507453 писал(а):

Не доказано равенство или существование предела?

Не доказано, что если предел существует, то он удовлетворяет одному из ваших двух равенств.

[toofack]

mihaild в сообщении #1507455 писал(а):

toofack в сообщении #1507453 писал(а):

Не доказано равенство или существование предела?

Не доказано, что если предел существует, то он удовлетворяет одному из ваших двух равенств.

У, вы как всегда правы, ведь $a_{n-1}$ это число, а не последовательность, следовательно переход неверен. Спасибо

[toofack]

mihaild в сообщении #1507455 писал(а):

toofack в сообщении #1507453 писал(а):

Не доказано равенство или существование предела?

Не доказано, что если предел существует, то он удовлетворяет одному из ваших двух равенств.

Хотя подождите, это не ошибка, при использование Теоремы Вейерштрасса (О монотонности и ограничености), при предположении и при переходе к нему, как в данном случае $\lim{a_{n}} = \lim\frac{{a_{n-1}}}{2}$ или $\lim{a_{n}} = \lim\sqrt{{a_{n-1}}}$ Получаем, что $a = \frac{a}{2}$ или $a = \sqrt{a}$ откуда a = 1 или 0. То же самое я делал в этой проблеме: topic144217.html Чем они отличаются, что в данном случае этот переход нужно док-ть, а в той проблеме нет, можете пожалуйста пояснить?

[mihaild]

toofack в сообщении #1507492 писал(а):

случае $\lim{a_{n}} = \lim\frac{{a_{n-1}}}{2}$ или $\lim{a_{n}} = \lim\sqrt{{a_{n-1}}}$

А это откуда? Вам же никто не гарантирует, что либо для всех $n$ выполнено $a_n = \frac{a_{n - 1}}{2}$, либо для всех $n$ выполнено $a_n = \sqrt{a_{n - 1}}$.

toofack в сообщении #1507492 писал(а):

Чем они отличаются, что в данном случае этот переход нужно док-ть, а в той проблеме нет, можете пожалуйста пояснить?

В той задаче было известно, как следующий член получается из предыдущих, и можно было взять конкретную подпоследовательность, в которой использовался только один переход. В этой задаче переходы могут чередоваться как угодно.

[Someone]

mihaild в сообщении #1507494 писал(а):

В этой задаче переходы могут чередоваться как угодно.

Видимо, задача состоит в том, чтобы либо придумать такую последовательность переходов, что будет существовать предел, и он будет принадлежать интервалу $(0,1)$, либо доказать, что такой последовательности не существует.

[toofack]

mihaild
Понятно, спасибо

[toofack]

Так, после всех пояснений мне захотелось проверить свое первое решение, я могу его написать в комментариях или лучше создать новую тему?