Вычислимость функций с дифференциальных уравнений с ЧП

[Skipper]

Интересует вопрос. Допустим, у нас есть ДУ с ЧП, где искомая функция $u$ от 2-х переменных, $u(x,y)$ , есть некие граничные условия, например,

$u(x,0) = 0$ ,
$\frac{\partial u}{\partial y} (x,0) = $\sin x$$ ,

И само дифференциальное уравнение с ЧП -

$y \cdot \sin u \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + x \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + u^2 + 2u + \ln x = 0 $

Можно заметить, что это,

1) ДУ с ЧП , с иcкомой функцией от 2-х переменных,
2) это дифференциальное уравнение, 2-й степени,
3) к тому же уравнение неоднородное, т.к. присутствует слагаемое $\ln x$ не зависящее от неизвестной функции $u$,
4) это уравнение и нелинейное. (линейным называется уравнение, если оно представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций, и самой функции, с умноженными на них коэффициентами. А коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями. Здесь же у нас, во-первых, в слагаемом $$y \cdot \sin u \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ , есть множитель $\sin u$ , что есть неизвестная функция в коэффициенте к одной из производных. Во-вторых, нелинейным, это уравнение делает и слагаемое $u^2$ , чего не должно быть согласно выше описанному определению)

Можно ли, для такого уравнения (или класса уравнений подобных ему),

1) найти искомую функцию $u(x,y)$ , аналитическим способом?

2) если нельзя найти искомую функцию $u(x,y)$ , аналитическим способом, то можно ли найти какими-нибудь, численными методами, некую приближенную формулу, для записи искомой функции $u(x,y)$ ?

3) наконец, если и второй, (пункт выше) нерешаем, то можно ли найти приближенно, численными методами, чему равно например $u(x,y)$ , в точке (5,5), т.е. чему равно $u(5,5)$ ?

И $x$ и $y$ и значение от них функции $u$ - могут быть комплексными числами.
Не столь важна именно такая функция, я просто привёл пример, такой, что для вычисления её (т.е. решения данного ДУ с ЧП, не помогают никакие учебники, и никакой поиск в интернете). Что тогда делать, если надо подобное посчитать?

Хочу понять, основы вычислимости для дифференциальных уравнений с ЧП. Вот например, некая математическая проблема, решалась бы, если бы мы (неважно вычислима ли искомая функция аналитическими или численными методами, но такая функция существует), могли бы найти приближенное значение в точке (5,5), и если разность с некой другой константой не превышает какого то значения, то тем самым можно доказать какую-нибудь теорему.

Спасибо.

-- Вс янв 31, 2021 09:42:43 --

---------------
Тут ещё надо различать два разных возможных случая.

1) функции-решения подобного дифференциального уравнения, может и не существовать в принципе (т.е. как бы получается, дифф. уравнение было бы противоречиво),

2) функция решение может существовать, но она не вычислима. По аналогии, как - когда нельзя было посчитать некоторые интегралы, так назвали их "неберущиеся интегралы". Так и тут, допустим функция существует, но не вычислима. Значит, назовём её, некой специальной БУКВОЙ, и поясним, что вот эта функция - есть просто невыразимое решение данного дифференциального уравнения.

3) но если есть в математике методы, чтобы проверить, существует ли вообще функция-решение (пусть и невычислимая), то можно ли было бы приближенно, какими-нибудь численными методами, посчитать значение этой искомой функции, в некоторой точке, например $u(5,5)$ ?
Тогда вычислив подобными же методами, приближенные значения во всей области (во всех интересующих нас точках, в узлах сетки), мы могли бы составить таблицу этих приближенных значений, и тем самым дать, хотя бы такое, табличное, определение искомой функции.

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1503499 писал(а):

но она не вычислима

Невычислима — это неправильный термин, потому что сильно намекает на теорию вычислимости, где имеется в виду совсем другое.

Skipper в сообщении #1503499 писал(а):

но если есть в математике методы, чтобы проверить, существует ли вообще функция-решение (пусть и невычислимая), то можно ли было бы приближенно, какими-нибудь численными методами, посчитать значение этой искомой функции, в некоторой точке, например $u(5,5)$ ?

Разумеется. Части математики, занимающиеся дифурами, ДУЧП, интегральными уравнениями и прочими, это в общем-то и выясняет: когда решения есть, что можно требовать от решений послабее если их нет или посильнее если их слишком много; наконец целая куча вычислительной математики занимается алгоритмами, которые дадут посчитать что-то поточнее и побыстрее и постабильнее в зависимости от начальных данных.

Обычно спецфункции, как я понимаю, сейчас не табулируют, а делают «карту методов вычисления», описывая для разных подобластей области определения способы вычисления функции там с приемлемой точностью (потому что даже когда и можно применить один метод для всех значений аргументов, это может быть для части аргументов например неэкономным или устроить проблемы при вычислениях с фиксированной точностью, типа случая $\exp\frac{-x^2}2$, когда для больших $x$ стоит сразу выдавать ноль). Табулировать можно потом, когда известно, что в интересующей в конкретном случае области аргументов функцию можно хорошо интерполировать и сэкономить тем на вычислениях. В некоторых местах однако для этого придётся слишком много табулировать и проще будет каждый раз считать с нуля.

А в конкретике не разбираюсь, если вас интересуют методы для вот этого уравнения-примера. Но кто-нибудь наверно посоветует литературу.

-- Вс янв 31, 2021 18:29:54 --

Добавление по поводу (3): если бы перед нами был дифур, то можно представить, что это дифур для синуса и мы не знаем ничего про синус, и аналогично для ДУЧП и какой-нибудь известной спецфункции, которая часто определяется как решение некоторого ДУЧП — ситуация и с ними на деле лучше ситуации с неизвестным уравнением только в том, что насчёт синусов и спецфункций с громкими именами наисследовали очень много, как чисто математические свойства, так и поведение разных методов их вычисления, но в каком-то философском плане эти функции ничем сами собой не проще, чем какая-то безызвестная.

[Skipper]

А есть ли какая хорошая литература, чтобы понять, 1) как вычисляются приближённо, искомые функции, удовлетворяющие подобным ДУ с ЧП, где аналитическими методами функцию найти нельзя?
2) Или если нельзя найти так, общую (приближённую) запись функции численными методами (т.е. некую формулу-выражение с приближеными коэффициентами), то я не пойму, как тогда не зная самой функции, вычислить например приближенно $u(5,5) $ ?

Может и здесь, функция будет существовать, но она будет недоступна к нахождению даже приближенно, т.е. невычислимо.
(тогда будет в самом деле, связь с теорией вычислимости?
Если такой связи нет, то следует признать, что все ДУ с ЧП, если в принципе имеют решение-функцию, то хотя бы приближённо, её всегда можно найти, т.е. вычислить?)

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1503555 писал(а):

) Или если нельзя найти так, общую (приближённую) запись функции численными методами (т.е. некую формулу-выражение с приближеными коэффициентами), то я не пойму, как тогда не зная самой функции, вычислить например приближенно $u(5,5) $ ?

Ну вот как вы тот же синус будете считать? Например с помощью ряда, приведя сначала аргумент поближе к нулю формулами приведения. Но ряд — это не обязательно, иногда какие-то более общие итеративные формулы.

По поводу литературы ждём тех, кто эти курсы ведёт, у меня с библиографией совсем плохо.

Skipper в сообщении #1503555 писал(а):

Может и здесь, функция будет существовать, но она будет недоступна к нахождению даже приближенно, т.е. невычислимо.

Боюсь, надо очень сильно умудриться придумать уравнение, чтобы так было. Например наставить невычислимых функций в само уравнение. По-моему в приложениях ДУЧП такое не встречается…

Но бывает, что решения вообще нет (ни в каком из разумно предполагаемых классов функций) — оно не невычислимо, а вообще действительно не существует. Тут аналогия с уравнениями от неизвестных-чисел полная: мы можем написать уравнение, решение которого например константа Хайтина, а можем написать уравнение $x = x + 1$, решений у которого просто нет.

[Евгений Машеров]

Ну, наверно, Вам нужно смотреть в сторону курсов численных методов, ища, где есть глава про численное решение ДУЧП. Метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод линий, метод сеток...
Какой-то обзор есть тут
https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical ... _equations
Но статья и ссылки в ней на английском.
Если решение существует, то получить его численно можно. Нарисовали сетку, заменили производные разностями, составили огромную систему уравнений и долго-долго решаем. Получая и желанное $u(5,5)$. Чем мельче шаг сетки, тем точнее и тем дольше. Поэтому есть более сложные методы, использующие особенности конкретной задачи.
Получив в ходе решения значения во всех точках сетки, может попробовать аппроксимировать их значения подходящей функцией $f(x,y)$ и затем использовать в расчётах её, вместо полноценного решения ДУЧП.
Аналитическое решение у Вашей задачи, скорее всего, отсутствует. Но присягать не буду, может, и есть какой-то приём свести её к более простой. Какое-нибудь "автомодельное решение".

[Skipper]

Евгений Машеров , спасибо.
А как определить - отсутствует ли аналитическое решение ДУ с ЧП, для функций с 2-мя переменными?

Cуществует ли подобная теория, для определения, решается ли ДУ с ЧП, аналитически?
Если есть, то хотел бы почитать соответствующие книги.

[Sender]

Эта теория именуется математической физикой, часто соответствующий вузовский курс носит название "уравнения математической физики". Литературу не могу подсказать, к сожалению.

[Skipper]

Sender, я много книг читал по матфизике, видел решения разных ДУ с ЧП, но не видел, какой то общей теории,
где бы описывалось, как определить, для заданного ДУ с ЧП, имеет ли это уравнение - аналитическое решение.. :(

Т.е. есть 2 класса - аналитически решаемые, и аналитически нерешаемые. Есть ли какая литература, изучив которую, можно это определять?
Вот написал уравнение ДУ с ЧП - и получил результат. Результат - не само решение.. Это я сам найду. А результат "да-нет", т.е. стоит ли вообще заниматься поиском аналитического решения?..

Спасибо.

[arseniiv]

Призовём в тему Red_Herring, если он просматривает уведомления. Кажется, он чему-то в таком роде посвящал время. (Если не получится, попробуйте написать ЛС с просьбой, и надеюсь, что я не ошибся в угадывании.)

[Евгений Машеров]

Что-то из этого, может, поможет?
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001. — 576 с.
Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с.
Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005. — 256 с.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 735 с.

[Евгений Машеров]

Sender в сообщении #1505415 писал(а):

Эта теория именуется математической физикой, часто соответствующий вузовский курс носит название "уравнения математической физики"

Ну, я бы всё же разделял "математическую физику" вообще: «применение математики к физическим задачам и разработка математических методов, подходящих для таких приложений и для формулировок физических теорий» и "урматфиз", занимающийся ДУЧП, причём теми, которые интересны в физике (теплопроводность, волны - акустика и электричество, гидродинамика). И, как правило, существование решений для них уже доказано, ставится вопрос о том, как наилучшим образом его получить, учитывая и необходимую точность, и наличный вычислительный ресурс.
А что до выяснения, есть ли вообще решение - боюсь, общей теории нет, есть много частных ответов. Помимо названных выше справочников, есть ещё сайт
http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm
В частности, его раздел
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/methods/meth-pde.htm

[Skipper]

У нас есть ДУ с ЧП, где искомая функция $u$ от 2-х переменных, $u(x,y)$ , есть граничные условия,

$u(0,y) = 0$ ,
$\frac{\partial u}{\partial x} (0,y) = \frac{1}{\ln 2} $

И само нелинейное дифференциальное уравнение с ЧП -

$y \cdot \tg ( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \cdot \frac{1}{6xy}) + \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{1}{y^3} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + (\frac{-1}{\ln(x+2)\cdot y^3} - \frac{x + 3x \cdot y^2}{x^2 + 1} - (3 y^2 + 1) \arctg x - xy) = 0 $

(это ДУ с ЧП - точно решается аналитически, т.е. функция $u(x,y)$ существует, выразима в конечной форме через элементарные функции + функции представляющие решения некоторых неберущихся интегралов).

Можно заметить, что это уравнение , класса уравнений, записываемых в общем виде так -

$A(x,y) \cdot F (\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} , x, y) + \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + B(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + C(x,y) = 0$

где $A, B, C , F$ - известные функции.

Подскажите, 1) решаемы ли аналитически, в общем виде, такие уравнения?

2) можно ли как то определить (по какой то теории, алгоритму..), глядя на первое уравнение, с заданными выше $A, B, C , F$ , решаемо оно аналитически или нет?

-- Пт фев 26, 2021 11:42:33 --

Евгений Машеров в сообщении #1505538 писал(а):

Sender в сообщении #1505415 писал(а):

Эта теория именуется математической физикой, часто соответствующий вузовский курс носит название "уравнения математической физики"

боюсь, общей теории нет ...

Выходит что, 1) ДУ с ЧП, может быть аналитически решаемым, но 2) при этом математика бессильна найти это решение?

Это к примеру, как написать длинное (очень большое) полупростое число. Оно раскладывается на множители, но никто в мире, этого разложения найти не сможет.
И тут всё сложнее, чем например, в задаче - определить берущийся интеграл или нет. Там есть общая теория, позволяющая это определить (дифференциальная теория Галуа).

Здесь же, никакой общей теории нет? Мне интересна данная тема, я как программист, хотел бы написать программу-решатель дифференциальных уравнений.

[пианист]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #1506670 писал(а):

Мне интересна данная тема, я как программист, хотел бы написать программу-решатель дифференциальных уравнений

Не советую. Соотношение полученный результат/затраченные усилия того не стоит.

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1506670 писал(а):

Выходит что, 1) ДУ с ЧП, может быть аналитически решаемым, но 2) при этом математика бессильна найти это решение?

Нет, она не обязательно будет бессильна, и для практически интересных случаев скорее всего будет вполне сильна, просто на конкретный случай может не найтись общего фреймворка чтобы раз-раз и всё решить, опираясь на плечи монографий. Так что пока вы в программу не встроите сильный ИИ, она все (в практическом смысле все, чтобы не говорить о каких-то дифурах, наличие решений у которых эквивалентно проблеме остановки или там проблеме P ? NP) дифуры решать не сможет, конечно. Сможет решать только те, на теории, описывающие которые, вы наткнётесь.

Можно начать с того, как решают уравнения разные системы компьютерной алгебры типа Mathematica. Часто есть где найти, какими алгоритмами они пользуются, хотя сам код проприетарных систем со всеми нюансами применения алгоритма вам никто конечно не даст, тут только опенсорсные. Не знаю, какие СКА лучше решают такие уравнения, на сравнения не натыкался.

-- Пт фев 26, 2021 17:34:04 --

Посмотреть, что делают другие (СКА) в данном случае — кстати самый естественный первый шаг при программировании какой-то задачи вообще. Может быть, всё решено уже в доступном инструменте на такую глубину, на которую мы сами опускаться не захотим. Тогда труд будет впустую (ну кроме дидактической ценности — но и она будет сомнительна, если мы будем имплементировать всё с нуля, не разобрав существующие подходы).