2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти предел функции
Сообщение14.10.2008, 00:31 
Аватара пользователя
$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin(2x)}}$

$\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos 3x}{4}$

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{4-3\cos x+\cos3x}{x\sin(2x)}}$

И дальше становится ещё хуже. Как привести к виду первого замечательного предела? Через замену переменной тоже не выходит.

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 02:40 
А попробуйте $1 - \cos^3 x$ разложить на множители. Полегчает :)

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение14.10.2008, 05:54 
Аватара пользователя
KPEHgEJIb писал(а):
${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin(2x)}}$

$\cos^3x=\frac{3cosx+\cos3x}{4}$

${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{4-3cosx+\cos3x}{x\sin(2x)}}$

И дальше становится ещё хуже. Как привести к виду первого замечательного предела? Через замену переменной тоже не выходит.

1. $ {\lim}\limits_{x \to 0} \frac{ (1-\cos x)(1+\cos x +\cos^2 x)}{2x^2} ={\lim}\limits_{x \to 0} \frac{ x^2/2(1+ \cos x+ \cos^2 x )}{2x^2} =\frac{3}{4}$

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение14.10.2008, 16:33 
KPEHgEJIb писал(а):
${\lim}\limits_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin(2x)}}$


$$\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos^3x}{x\sin2x}$$ :wink:

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 17:11 
Аватара пользователя
Из разложения в ряд Тейлора $\cos^3 x = 1 - {3\over2}x^2 + O(x^4)$, $\sin 2x = 2x + O(x^3)$ в окрестности 0. Так что искомый предел равен $3/4$, если я не ошибся в арифметике.

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 23:36 
Аватара пользователя
Всем спасибо, разобрался :)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group