Стохастическое округление: найдём красивое определение

[arseniiv]

Есть один способ округления действительных чисел, иногда полезный своими свойствами. Мы округляем $x$ до $\lfloor x \rfloor$ с вероятностью $\lceil x \rceil - x$ и до $\lceil x \rceil$ с вероятностью $x - \lfloor x \rfloor$, и до себя, если оно и так целое.

Это определение хорошо тем, что симметричность (полуцелые округляются туда или сюда равновероятно, плюс смена знака, округление и снова смена знака эквивалентны просто округлению) очевидна сразу, но плохо тем, что надо учитывать целые отдельно (иначе две первые вероятности будут суммироваться в ноль, и мы не до конца определили результат). Мы можем выкинуть клаузу «если $x$ целое», заменив вторую вероятность на $1 - (\lceil x \rceil - x)$, и тогда определение укоротилось, но стало не очевидно симметричным.

Как бы поймать обоих зайцев? Вдруг можно что-нибудь хитренькое придумать, например какую-нибудь дополнительную штуку определить (которая была бы полезна не только здесь, чтобы её определение не было просто частью этого определения)?


UPD: Предложили такое: $x \mapsto \lfloor x + u \rfloor, \; u \sim U[0; 1)$, весьма коротко, но симметрия тоже не особо видна. Взяв округление до ближайшего целого, можно улучшить ситуацию: $x \mapsto [x + u], \; u \sim U[-\frac12; \frac12)$, однако для точности (если мы не хотим, чтобы целое с вероятностью 0 иногда округлялось не в себя, а для практики это важно, потому что вероятность этого обычно тогда станет ненулевой) надо будет затребовать, чтобы $[n - \frac12] = n$ (или наоборот, если $u \sim U(-\frac12; \frac12]$). К последнему опять можно придраться.

[geomath]

А что будет, если к каждому числу добавлять перед округлением равновероятно плюс-минус наименьшее положительное число?

[arseniiv]

Зависит от формата представления чисел, ну и в чистой математике это будет просто некорректным. Однако ничего интересного не выйдет.