Эквивалентная замена системы грузов центром масс

[approximately]

Здравствуйте, товарищи! Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче. Она звучит так: " На конце невесомого стержня укреплено очень маленькое тело массой $m$. Второй конец стержня закреплен шарнирно на горизонтальной поверхности. Если расположить стержень под некоторым углом к вертикали, а затем отпустить, он будет падать на поверхность в течение времени $t$. Какое время будут падать на поверхность стержень, если к его середине прикрепить маленькое тело массы $2m$, расположить под таким же углом к поверхности и отпустить?". Авторское решение есть (это РОСАТОМ за 11 класс 2019 года), но я хочу довести свое до конца. В первом случае скорость тела при падении на землю будет равна:
$mgR\sin\alpha=(mv^2)/2$, следовательно, $v^2=2gR\sin\alpha$, где: $R$-длина стержня, $\alpha$ - угол наклона.
Во втором случае можно рассмотреть не оба груза, а заменить их на один, находящийся на расстоянии $2R/3$ от шарнира и имеющий массу $3m$ (центр масс системы двух грузов). Тогда для этой системы справедливо уравнение ЗСЭ:
$ 3mg\frac{2}{3}R\sin\alpha=(3mu^2)/2$, следовательно, $u^2=4/3gR\sin\alpha$, где: $u$ - скорость системы грузов.
Из кинематических соображений (о свободном падении тел), получаем:
t_2/t_1=\sqrt{u/v}=\sqrt{3/2}
Правильный ответ t_2/t_1=\sqrt{3/4}, я думаю ошибка в выводе кинетической энергии системы гузов (если бы там было деление на 2, то все получится). Помогите разобраться, где я допускаю ошибку.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Mihr]

approximately в сообщении #1506287 писал(а):

В первом случае скорость тела при падении на землю будет равна

Мне кажется, Ваша ошибка в том, что Вы делаете какой-то вывод о средней скорости падения на основании мгновенного значения этой скорости в конце падения. Это весьма рискованный подход, совершенно не гарантирующий успех.

approximately в сообщении #1506287 писал(а):

Из кинематических соображений (о свободном падении тел), получаем

А здесь разве имеет место свободное падение тел?

[approximately]

Спасибо. Это верно, но мы же можем разделить все падение на бесконечно маленькие участки, времена прохождения соответствующих участков стержнями будут соотноситься одинаково (это и будет нужное соотношение). При таком методе мы пренебрегаем разницей между средней скоростью и конной на участке. Или это тоже некорректно?

[Mihr]

approximately в сообщении #1506601 писал(а):

Это верно, но мы же можем разделить все падение на бесконечно маленькие участки, времена прохождения соответствующих участков стержнями будут соотноситься одинаково

Совершенно верно. Ещё нужно это отношение найти правильно.

-- 25.02.2021, 21:20 --

Может, Вы просто не учли, что конец стержня и центр масс системы во втором случае проходят пути разной длины?

[amon]

approximately в сообщении #1506287 писал(а):

Помогите разобраться,

Напишите настоящий закон сохранения энергии ($E=\frac{mv^2}{2}+\dots$), выразите из него скорость как функцию координат и попробуйте воспользоваться тем, что $v=\frac{\Delta r}{\Delta t}.$

[Mihr]

По-моему, ещё удобнее решать через угловую скорость. Тогда о длине пути заботиться не нужно.