2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 13:46 


14/01/11
2677
Вот только в таком варианте луч преломляется дважды, и сложность задачи возрастает катастрофически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 13:52 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
Sender в сообщении #1505980 писал(а):
Вот только в таком варианте луч преломляется дважды, и сложность задачи возрастает катастрофически.

(Оффтоп)

Ну так нужно придумать, чтоб он преломлялся единожды...

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
DimaM в сообщении #1505982 писал(а):
нужно придумать, чтоб он преломлялся единожды...

Тогда, видимо, линза должна быть вогнуто-выпуклой, причём вогнутость должна иметь сферическую форму. Если после преломления на передней поверхности лучи ориентируются вдоль прямых, на которых лежат радиусы этой сферы, то падение на заднюю (сферическую) поверхность оказывается нормальным, и второй раз лучи не преломляются. А соберутся они в центре кривизны задней поверхности, - здесь и будет фокус линзы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Получается, что передняя (для потока параллельных лучей) поверхность - эллипсоид вращения. А эксцентриситет соответствующего эллипса, при вращении которого получается эта поверхность, $\varepsilon=\dfrac{1}{n}$. Фокус линзы совпадает с левым фокусом эллипса (а также с центром сферы). По-прежнему, фокусное расстояние $ f=OA$, где теперь точка $A$ - вершина эллипсоида вращения, точка $O$ - фокус линзы.


Вложения:
30.png
30.png [ 6.98 Кб | Просмотров: 382 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 16:56 


14/01/11
2677
Осталось сформулировать общую задачу. Найти форму границы раздела двух сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$, такую, чтобы лучи света, испускаемые из одной заданной точки $F_1$, лежащей по одну сторону границы, собирались в другой заданной точке $F_2$, лежащей по другую сторону границы. Если руководствоваться принципом Ферма, уравнение получается таким:$n_1\sqrt{(x+f_1)^2+y^2}+n_2\sqrt{(x-f_2)^2+y^2}=n_1f_1+n_2f_2$. Оказывается, эта кривая носит название овала Декарта, и она была получена им в результате решения этой самой задачи. :-)

-- Пн фев 22, 2021 17:22:53 --

Кстати, можно сформулировать ещё пару двойственных задач с рассеивающими линзами.


Вложения:
opt.jpg
opt.jpg [ 31.69 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Sender, спасибо, про Декарта не знал. Но здесь, вроде, вырожденный случай: одна из точек $F_1, F_2$ унеслась в бесконечность. Так что, задача всё же чуть-чуть другая.

А как именно Вы формулируете задачу с рассеивающей линзой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 18:20 


14/01/11
2677
Mihr в сообщении #1506031 писал(а):
А как именно Вы формулируете задачу с рассеивающей линзой?

Очень просто.
1. Параллельный пучок света падает на поверхность раздела двух оптических сред. Найти её форму, если продолжения преломленных лучей сходятся в одной точке.
2. Сходящийся в некоторой точке пучок лучей падает на поверхность раздела двух оптических сред. Найти её форму, если преломленные лучи образуют параллельный пучок.
В обоих случаях все показатели преломления считаем известным. Можно считать, что один из них равен $1$, а второй - $n>1$.

-- Пн фев 22, 2021 18:25:47 --

Mihr в сообщении #1506031 писал(а):
Но здесь, вроде, вырожденный случай: одна из точек $F_1, F_2$ унеслась в бесконечность.

Там, по-моему, соответствующий предельный переход даёт верное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение22.02.2021, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Sender, ага, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеально фокусирующая поверхность
Сообщение23.02.2021, 07:18 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
Sender в сообщении #1506017 писал(а):
Оказывается, эта кривая носит название овала Декарта, и она была получена им в результате решения этой самой задачи.

Декарт еще придумал механическое приспособление, для вытачивания гиперболических поверхностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group