Идеально фокусирующая поверхность

[Sender]

Вот только в таком варианте луч преломляется дважды, и сложность задачи возрастает катастрофически.

[DimaM]

Sender в сообщении #1505980 писал(а):

Вот только в таком варианте луч преломляется дважды, и сложность задачи возрастает катастрофически.

(Оффтоп)

Ну так нужно придумать, чтоб он преломлялся единожды...

[Mihr]

DimaM в сообщении #1505982 писал(а):

нужно придумать, чтоб он преломлялся единожды...

Тогда, видимо, линза должна быть вогнуто-выпуклой, причём вогнутость должна иметь сферическую форму. Если после преломления на передней поверхности лучи ориентируются вдоль прямых, на которых лежат радиусы этой сферы, то падение на заднюю (сферическую) поверхность оказывается нормальным, и второй раз лучи не преломляются. А соберутся они в центре кривизны задней поверхности, - здесь и будет фокус линзы.

[Mihr]

Получается, что передняя (для потока параллельных лучей) поверхность - эллипсоид вращения. А эксцентриситет соответствующего эллипса, при вращении которого получается эта поверхность, $\varepsilon=\dfrac{1}{n}$. Фокус линзы совпадает с левым фокусом эллипса (а также с центром сферы). По-прежнему, фокусное расстояние $ f=OA$, где теперь точка $A$ - вершина эллипсоида вращения, точка $O$ - фокус линзы.

[Sender]

Осталось сформулировать общую задачу. Найти форму границы раздела двух сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$, такую, чтобы лучи света, испускаемые из одной заданной точки $F_1$, лежащей по одну сторону границы, собирались в другой заданной точке $F_2$, лежащей по другую сторону границы. Если руководствоваться принципом Ферма, уравнение получается таким:$n_1\sqrt{(x+f_1)^2+y^2}+n_2\sqrt{(x-f_2)^2+y^2}=n_1f_1+n_2f_2$. Оказывается, эта кривая носит название овала Декарта, и она была получена им в результате решения этой самой задачи.

-- Пн фев 22, 2021 17:22:53 --

Кстати, можно сформулировать ещё пару двойственных задач с рассеивающими линзами.

[Mihr]

Sender, спасибо, про Декарта не знал. Но здесь, вроде, вырожденный случай: одна из точек $F_1, F_2$ унеслась в бесконечность. Так что, задача всё же чуть-чуть другая.

А как именно Вы формулируете задачу с рассеивающей линзой?

[Sender]

Mihr в сообщении #1506031 писал(а):

А как именно Вы формулируете задачу с рассеивающей линзой?

Очень просто.
1. Параллельный пучок света падает на поверхность раздела двух оптических сред. Найти её форму, если продолжения преломленных лучей сходятся в одной точке.
2. Сходящийся в некоторой точке пучок лучей падает на поверхность раздела двух оптических сред. Найти её форму, если преломленные лучи образуют параллельный пучок.
В обоих случаях все показатели преломления считаем известным. Можно считать, что один из них равен $1$, а второй - $n>1$.

-- Пн фев 22, 2021 18:25:47 --

Mihr в сообщении #1506031 писал(а):

Но здесь, вроде, вырожденный случай: одна из точек $F_1, F_2$ унеслась в бесконечность.

Там, по-моему, соответствующий предельный переход даёт верное уравнение.

[Mihr]

Sender, ага, спасибо.

[DimaM]

Sender в сообщении #1506017 писал(а):

Оказывается, эта кривая носит название овала Декарта, и она была получена им в результате решения этой самой задачи.

Декарт еще придумал механическое приспособление, для вытачивания гиперболических поверхностей.