определённый интеграл с арктангенсом синуса

[maxal]

Докажите, что:

$$\int_0^{\pi} \frac{\arctan(\frac{\sqrt{2}}4 \sin(z))}{\cos(z)^2-9}\,{\rm d}z = \frac{\sqrt{2}}{72}\left(3\ln(3)^2 + 6\,\mathrm{Li}_2(\frac13)-\pi^2\right).$$

[novichok2018]

Арктангенс в ряд и почленно?

[maxal]

novichok2018, вы проверяли, что там все получается, или это лишь идея?

[novichok2018]

Даже и не идея, а просто намёк на возможный путь. Не более. Косинус бы ещё сверху, так его не хватает...

[DjD USB]

maxal в сообщении #1505181 писал(а):

Докажите, что:

$$\int_0^{\pi} \frac{\arctan(\frac{\sqrt{2}}4 \sin(z))}{\cos(z)^2-9}\,{\rm d}z = \frac{\sqrt{2}}{72}\left(3\ln(3)^2 + 6\,\mathrm{Li}_2(\frac13)-\pi^2\right).$$

Возможно поможет идея рассмотрения интеграла

$$I(b)=\int_0^{\pi} \frac{\arctan(\frac{b\sqrt{2}}4 \sin(z))}{\cos(z)^2-9}\,{\rm d}z, I(0)=0 $$

Далее дифференцированием по параметру получается что-то не сложное.

[maxal]

DjD USB, действительно, идея рабочая. Не то, чтобы получается совсем несложно, но матпакеты справляются с вычислениями.