Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности

[fred1996]

Два бруска массы $m_1$ и $m_2$ соединены пружиной с к-том жесткости $k$, растянутой на расстояние $b$. Эту конструкцию положили на шероховатую поверхность с к-том трения между брусками и поверхностью $\mu$
Изначально система в покое. Затем Ее отпускают.
Считая, что начальной силы пружины достаточно, чтобы сдвинуть бруски, то есть $kb>\mu m_1g$ и $kb>\mu m_2g$ определить максимальные скорости брусков.

(Оффтоп)

Эта задачка попалась мне при подготовке одного канадского школьника к канадской олимпиаде по физике. Мы с ним решаем задачки из предыдущих лет. Большинство задачек так себе. Но эта мне чем-то понравилась.

[DimaM]

А эта задачка разве решается?

[EUgeneUS]

DimaM
А почему нет?
Условия достаточны, чтобы однозначно определить движение брусков.
Так как движение начинается со скоростей ноль и заканчивается скоростями ноль, то где-то будут глобальные максимумы.

[mihiv]

$$v_{1max}=\dfrac {m_2}{m_1+m_2}\omega (b-\dfrac {2\mu g}{\omega ^2})\sin \alpha -\dfrac {\mu g}{\omega }\dfrac {(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)}\alpha }$$где: $\omega ^2=\dfrac {k(m_1+m_2)}{m_1m_2},\alpha =\arccos \dfrac {\frac {\mu gm_1}k-\frac {2\mu g}{\omega ^2}}{b-\frac {2\mu g}{\omega ^2}}, m_1>m_2.$

[fred1996]

mihiv

Я не проверял точность ваших выкладок. Но вижу, что ход ваших мыслей совпадает с моим. :)
Для второй массы нужно проверить, будет ли в момент, когда $\Delta x k=\mu m_2g$ первая масса уже в покое, или нет. Очевидно, что при $m_1>>m_2$ симметричного ответа для $v_2$ не получим. То есть в момент полной остановки $m_1$ второй брусок будет все ещё ускоряться.

[fred1996]

mihiv
Решил честно подсчитать и у меня получилось похоже, да не очень.
Давайте ка я изложу свое решение степ-бай-степ.

Пусть у нас брусок $m_1$ слева, а брусок $m_2$ соответственно справа. $m_1>m_2$
Положительное направление слева направо. Тогда силы трения $F_1=-\mu m_1g$ и $F_2=\mu m_2g$

Результирующая сила, действующая на систему будет $F=-\mu g(m_1-m_2)$

И, соответственно, ускорение центра масс системы будет $-\mu g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$

Переходим в неинерциальную систему центра масс.
В ней появляется фиктивная сила "тяжести" с ускорением "свободного падения" вправо $a=\mu g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$

В этой системе стандартным образом разбиваем пружинку на два куска - слева и справа от ЦМ.
У получившихся двух пружинок к-ты жёсткости соответственно $k_1=k\frac{m_1+m_2}{m_2}$ и $k_2=k\frac{m_1+m_2}{m_1}$
А начальные растяжения $b_1=b\frac{m_2}{m_1+m_2}$ и $b_2=b\frac{m_1}{m_1+m_2}$

Теперь учтём действие "силы тяжести".
Она смещает точку равновесия для обеих пружинок вправо на расстояние $\Delta b=\frac{m_1 a}{k_1}=\frac{\mu m_1m_2g}{k}\frac{m_1-m_2}{(m_1+m_2)^2}$

Таким образом находим амплитуды колебаний для обеих масс:
$A_1=b_1+\Delta b=b\frac{m_2}{m_1+m_2} +\frac{\mu m_1m_2g}{k}\frac{m_1-m_2}{(m_1+m_2)^2}$
$A_2=b_2-\Delta b= b\frac{m_1}{m_1+m_2} - \frac{\mu m_1m_2g}{k}\frac{m_1-m_2}{(m_1+m_2)^2}$
И частотой колебаний $\omega = \sqrt{k\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}}$

Тела движутся в противофазе:
$x_1=-A_1\cos(\omega t)$ и $x_2=A_2\cos(\omega t)$
Соответственно скорости будут:
$v_1=A_1\omega\sin(\omega t)$ и $v_2=-A_2\omega\sin(\omega t)$
А ускорения:
$a_1=A_1\omega^2\cos(\omega t)$ и $a_2=-A_2\omega^2\cos(\omega t)$

Первое тело достигнет максимальной скорости, когда его ускорение в неинерциальной системе сравняется с ускорением самой системы с обратным знаком.
То есть $A_1\omega^2\cos(\omega t) = a$
Или $t_1= \frac{1}{\omega}\arccos(\frac{a}{A_1\omega^2)}$
Остаётся подставить это время в формулу для скорости и учесть, что неинерциальная система приобрела скорость $-at_1$
То есть $V_1=A_1\omega\sin(\omega t_1) -at_1$
Остаётся честно подставить все выражения

[mihiv]

fred1996
Да, получилось похоже, я, правда, просто решал ДУ для разности $x_2-x_1$.
Имеет смысл проверить частный случай $m_1=m_2$, там формулы упрощаются.

[fred1996]

Если честно, я, конечно, схитрил.
На самом деле в условии задачи при заданных числах получалось, что более массивное тело не может сдвинуться с места. То есть $kb<\mu m_1g$
И задачка превращается в совсем тривиальную - гармоническое колебание в присутствии сухого трения.
Но я это по перву не заметил и стал решать как обычно - формулами.
Мне задачка показалась достаточно интересной. Хотя, казалось бы, что там такого интересного можно найти в колебаниях? Но тут собрано сразу несколько идей в кучу. Так что школьникам, и даже некоторым ЗУ не так просто Ее разложить по полочкам. А сама идея, что сила трения создаёт неинерциальную систему с постоянным ускорением, да ещё с гармоническими колебаниями внутри системы мне кажись попадается впервые.
Конечно, если Ее дальше анализировать, то там возникают варианты.
Что будет, если более массивное тело остановится (в инерциальный системе, конечно), а малое тело ннеинаберет максимальной скорости.
Будет ли достаточно силы пружины, чтобы его сдвинуть с места в обратную сторону. Ведь тогда оба тела начнут двигаться в одну сторону, а силы трения придётся не вычитать, а складывать. В общем на первый взгляд найти максимальную скорость меньшего тела не так то просто.

[fred1996]

DimaM в сообщении #1505020 писал(а):

А эта задачка разве решается?

Меня, если честно, озадачил ваш вопрос?
Стало даже интересно, что вы имели ввиду?