диффур

[Sherpa]

$l(m+m_2)x'' + 0.5m_1x'^2 + m_1xx'' + 2m_1gx + mgl = 0$
Уважаемые форумчане, подскажите метод решения пожалуйста.

[antbez]

Аналитический? При произвольных константах? Затрудняюсь...

[Sherpa]

знаю только ответ, но как придти к нему затрудняюсь

[ИСН]

Что за физика лежит под этим?

[Александр Т.]

Sherpa писал(а):

$l(m_1+m_2)x'' + 0.5m_1x'^2 + m_1xx'' + 2m_1gx + mgl = 0$
Уважаемые форумчане, подскажите метод решения пожалуйста.

Это --- дифференциальное уравнение, в которое независимая переменная (наверное, $t$) не входит явным образом, что позволяет понизить порядок уравнения. Подстановку для понижения порядка можно найти почти в любом учебнике по дифференциальным уравнениям. (Слово "почти" поставил на всякий случай. Сам я такого учебника по дифференциальным уравнениям, в котором о такой подстановке ничего не сказано, не знаю.)

Sherpa писал(а):

знаю только ответ...

$$ \int \sqrt{ \dfrac{m_1x+(m_1+m_2)l}{-2m_1gx^2-2mglx+C_1} } \,\mathrm{d}x = t , $$

где $C_1$ --- первая произвольная константа (вторую дает неопределенный интеграл).

Такой ответ?

[Sherpa]

Ответ будет такой:

$$x = -\frac{ml}{m_1}+(l_0+\frac{ml}{m_1})\ch\sqrt{\frac{m_1g}{m+m_1+m_2}}t$$

где

$$l_0$$

- начальная длина веревки.
Ещё небольшее изменения внёс в исходное условие: в первой скобке по ошибке написал массу с индексом вместо массы без индекса.

Физика в основе лежит следующая: висит барабан с намотанной на него верёвкой. Веревка имеет массу, и к её концу прикреплён груз. Нужно описать уравнение движения груза.

[Андрей123]

По-моему, уравнение выписано не верно. Если я правильно понял условие, то должно получиться такое уравнение: $(m_1+m_2+m)l x''=m_1gl+m_2gx$, где $m1$-масса груза, $m_2$ -масса веревки, $m$-масса барабана, $l$ - полная длина веревки.

[Александр Т.]

Sherpa писал(а):

Ещё небольшее изменения внёс в исходное условие: в первой скобке по ошибке написал массу с индексом вместо массы без индекса.

Для измененного диференциального уравнения (ДУ) у меня получился следующий общий интеграл

$$ \int \sqrt{ \dfrac{m_1x+(m+m_2)l}{-2m_1gx^2-2mglx+C_1} } \,\mathrm{d}x = t . $$

Sherpa писал(а):

Ответ будет такой:

$$x = -\frac{ml}{m_1}+(l_0+\frac{ml}{m_1})\ch\sqrt{\frac{m_1g}{m+m_1+m_2}}t$$

где

$$l_0$$

- начальная длина веревки.

А этот ответ больше похож на решение ДУ, о котором

Андрей123 писал(а):

По-моему, уравнение выписано не верно. Если я правильно понял условие, то должно получиться такое уравнение: $(m_1+m_2+m)l x''=m_1gl+m_2gx$, где $m1$-масса груза, $m_2$ -масса веревки, $m$-масса барабана, $l$ - полная длина веревки.

и общее решение которого имеет вид

$$ x = - \frac{m_1l}{m_2} + C_1\ch\sqrt{\frac{m_2g}{m+m_1+m_2}}t + C_2\sh\sqrt{\frac{m_2g}{m+m_1+m_2}}t . $$

[Sherpa]

Да, спасибо.
Я выражал массу верёвки и барабана, как функции длины и сразу их подставлял в уравнение. Это было лишним. Именно такое уравнение, как у Андрея и получил.
Вопрос решен.