Найти дивергенцию поля заряда. ФЛФ II, з-ча 3-3

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

jpg писал(а):

3-3. The field of a point charge located at the origin is of the form
$\vec E = \tfrac{K}{r^3}\vec r\text{ , where } r= (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}\text{ , }\vec r = \vec i x + \vec j y + \vec k z$
and $K$ is a constant.
a) Calculate the flux of $\vec E$ through the spherical surface of radius $a$ with origin at the center.
b) Use Gauss's theorem to connect the flux of $\vec E$ through the spherical surface with the integral of $\vec \nabla \cdot \vec E$ over the volume. Can you explain your result?
c) Calculate the line integral of the vector $\vec E$ around the path, in the x-y plane which is shown:
...
Use Stokes's theorem to verify the result.

Условие русское и решение:

jpg писал(а):

3. 3. Напряженность электрического поля точечного за- ряда, помещенного в начало координат, имеет вид
$\mathbf E = \tfrac{K}{r^3} \mathbf r $, где $\mathbfr= (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}\text{ , }\mathbf r = \mathbf i x + \mathbf j y + \mathbf k z$
($K$ — некоторая постоянная).
а) Вычислите поток вектора напряженности элект- рического поля $\mathbf E$ через поверхность сферы радиуса $a$, центр которой совпадает с зарядом.
б) Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, представьте поток вектора $\mathbf E$ через по- верхность сферы в виде объемного интеграла от $(\nabla \cdot \mathbf E)$. Можете ли вы объяснить полученный вами результат?
в) Вычислите циркуляцию вектора $\mathbf E$ вдоль кон- тура, изображенного на рисунке (контур лежит в плоскости $xy$). Убедитесь в правильности полу- ченного результата, воспользовавшись теоремой Стокса.

Мое решение:
a) Из уравнения (3.12):
$\text{Flux E} = \int_S\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS = E\cdot S = \tfrac{K}{a^2}4\pi a^2 = 4\pi K$,
$S$ - площадь сферы.
b)
$\nabla \cdot \mathbf E = \tfrac{\partial}{\partial x}E_x +\tfrac{\partial}{\partial y}E_y +\tfrac{\partial}{\partial z}E_z =\tfrac{\partial}{\partial x}\tfrac{K}{r^3}x +\tfrac{\partial}{\partial y}\tfrac{K}{r^3}y +\tfrac{\partial}{\partial z}\tfrac{K}{r^3}z =(\tfrac{K}{r^3} - \tfrac{3Kx^2}{r^5}) +(\tfrac{K}{r^3} - \tfrac{3Ky^2}{r^5}) +(\tfrac{K}{r^3} - \tfrac{3Kz^2}{r^5}) =\tfrac{3K}{r^3} - \tfrac{3K}{r^3} = 0$
Из уравнения (3.18):
$\text{Flux E} = \int_V\nabla \cdot \mathbf E dV = \int_V\nabla \cdot \mathbf E dV =\int_V0 dV =\int_V d (0f(V)+\text{const} ) = 0f(V)+\text{const} = \text{const,}$
где
$f(V)$ - некоторая функция объема,
$ \text{const}$ - константа интегрирования.
c) Из-за симметрии векторов $\mathbf E$ относительно пересекающей оси на каждой стороне квадрата, имеем:
$\oint\mathbf E\cdot d\mathbf L=0$,
$L$ - периметр квадрата.
$ (\nabla \times \mathbf E)_z= \tfrac{\partial}{\partial x} E_y - \tfrac{\partial}{\partial y}E_x = -\tfrac{3Kxy}{r^5}+\tfrac{3Kxy}{r^5} = 0$
Из уравнения (3.38):
$\int_{S_\Box}(\nabla \times \mathbf E)_n\,dS_\Box = \int_{S_\Box} 0\,dS_\Box =\text{const}_\Box $,
$S_\Box$ - площадь квадрата;
$\text{const}_\Box$ - константа интегрирования.

Это правильное решение?

[lel0lel]

Если подъинтегральная функция в определённом интеграле равна нулю, то он равен нулю. Поэтому не нужно писать $\operatorname{const}$. В задаче имеется особая точка, в которой дивергенция изначально неопределена. Ваша задача её правильно доопределить в этой точке, чтобы теорема Остроградского-Гаусса выполнялась. Также полезно вспомнить уравнения Максвелла.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

В задаче имеется особая точка, в которой дивергенция изначально неопределена.

Для $r = 0$ получается разность бесконечностей одного порядка. Поэтому я думаю там нет неопределенности.

[lel0lel]

Предел-то существует и равен нулю, а вот значение функции неопределенно. Если хотите понять в чём тут дело, предлагаю рассмотреть задачу о шарике радиуса $R$, по которому равномерно распределён заряд $q$. Вычисляете дивергенцию (особых точек не будет), затем переходите к пределу $R\to 0$.

Кстати, что там говорят уравнения Максвелла про дивергенцию вектора напряжённости?

[Uchitel'_istorii]

Согласно уравнения (12.4):
$\mathbf E = \tfrac{q_1 }{4\pi\epsilon_0 r^3} \mathbf r= \tfrac{\rho V }{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf r = \tfrac{ \rho \tfrac{4}{3}\pi r^3 }{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf r = \tfrac{ \rho}{3\epsilon_0 }\mathbf r$

При $\rho = \text{const , }r\to 0$:
$\nabla \cdot \mathbf E = \tfrac{\partial}{\partial x}\tfrac{ \rho}{3\epsilon_0 }x +\tfrac{\partial}{\partial y}\tfrac{ \rho}{3\epsilon_0 }y +\tfrac{\partial}{\partial z}\tfrac{ \rho}{3\epsilon_0 }z = \tfrac{ \rho}{\epsilon_0 } $
Это и есть уравнение Максвелла в дифференциальной форме. В интегральной форме вместо интеграла $\nabla \cdot \mathbf E$ фигурируют поток $\mathbf E$ и заряд. Отсюда вывод: точечные заряды не существуют?

[lel0lel]

Модель точечного заряда широко используется в классической электродинамике. Пусть при этом и возникают некоторые физические трудности, такие как бесконечная плотность энергии и бесконечные силы взаимодействия на малых расстояниях. В задаче вам нужно сообразить каким образом можно задать плотность распределения заряда точечного заряда.

[realeugene]

Uchitel'_istorii
дивергенция точечного заряда как регулярная функция не определена. Она определена только в классе обобщённых функций. У меня нет сейчас под рукой ФЛФ чтобы проверить, но предположу, что знакомство с дельта-функцией там предполагается.

Тем и удобны уранвения Максвелла в интегральной форме, что в них можно использовать приближение точечных зарядов, не прибегая к их бесконечным дивергенциям.

-- 15.02.2021, 17:56 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1505095 писал(а):

Отсюда вывод: точечные заряды не существуют?

В классической электродинамике понятие точечного заряда хоть и удобно, но приводит при попытке его проанализировать слишком глубоко к противоречиям, и им нужно пользоваться осторожно, понимая, где стоит подстелить соломки, чтобы было не шибко больно. В квантовой электродинамике точечные заряженные частицы существуют, но само понятие точечной частицы там несколько иное.