Найдите все гомоморфизмы

[artempalkin]

Дорогие друзья, подскажите, правильно я решаю следующую задачу (это Кострикин 58.27 а)

Найти все гомоморфизмы $Z_6\to Z_6$

Пусть $Z_6=<a>_6$

Изоморфизмов (по сути автоморфизмов) будет 2 ($a\to a$ либо $a^5\to a$).

У $Z_6$ существует всего две нетривиальные подгруппы, обе, естественно, нормальные.

Первая подгруппа $<a^3>$ даст нам фактор-группу $\{<a^3>,a<a^3>,a^2<a^3>\}$. Тут будет два гомоморфизма:

$<a^3>\to e,\ a<a^3>\to a^2,\ a^2<a^3>\to a^4$

$<a^3>\to e,\ a^2<a^3>\to a^2,\ a<a^3>\to a^4$

Вторая подгруппа $<a^2>$ даст нам фактор-группу $\{<a^2>,a<a^2>\}$. Тут будет один гомоморфизм:

$<a^2>\to e,\ a<a^2>\to a^3$.

Ну и еще будет тривиальный гомоморфизм $Z_6\to e$. Итого я насчитал 6 гомоморфизмов.

Достаточно мучительное здесь оформление, либо я просто не совсем представляю, как такие вещи оформляются.

[Slav-27]

Более простое решение: гомоморфизм однозначно определяется образом $a$, так как в группе 6 элементов, то получается 6 вариантов.

[artempalkin]

Slav-27 в сообщении #1504827 писал(а):

Более простое решение: гомоморфизм однозначно определяется образом $a$, так как в группе 6 элементов, то получается 6 вариантов.

Ну тут надо не пересчитать варианты, а их перечислить. Но вот это интересный факт, о котором я не в курсе. А откуда известно, что для каждого отображения $a$ найдется гомоморфизм? И если бы было нужно найти гомоморфизмы $Z_6\to Z_{18}$ (как в пункте б), то было бы заведомо 18 гомоморфизмов?

[nnosipov]

У Кострикина ровно это и написано: "58.27. Гомоморфизм определяется образом порождающего элемента $а$".

-- Пт фев 12, 2021 18:11:12 --

artempalkin в сообщении #1504828 писал(а):

И если бы было нужно найти гомоморфизмы $Z_6\to Z_{18}$ (как в пункте б), то было бы заведомо 18 гомоморфизмов?

Нет, их будет 6. Дело в том, что образ генератора не может быть каким попало элементом.

Здесь можно решать задачу в самом общем виде: перечислить все гомоморфизмы $\mathbb{Z}_m \to \mathbb{Z}_n$. Возможно, в аддитивной нотации будет проще понять.

[artempalkin]

Кажется, нет, потому что в случае $Z_6\to Z_{18}$ $a\to a$, к примеру, не получится отобразить (то есть гомоморфизма не найдется). Но в целом момент я понял, хотя не до конца ясно, когда этим свойством можно пользоваться

-- 12.02.2021, 14:13 --

nnosipov в сообщении #1504830 писал(а):

У Кострикина ровно это и написано: "58.27. Гомоморфизм определяется образом порождающего элемента $а$".

В целом это ясно, да, что двух гомоморфизмов, отображающих $a$ в один и тот же элемент не найдется, конечно. Другой вопрос

nnosipov в сообщении #1504830 писал(а):

Нет, их будет 6. Дело в том, что образ генератора не может быть каким попало элементом.

, куда генератор можно и нельзя отображать :)

[nnosipov]

Пишем $\varphi(a)=b^k$, где $a$ --- генератор $Z_m$, $b$ --- генератор $Z_n$. Тогда $e=\varphi(e)=\varphi(a^m)=b^{mk}$, откуда $mk$ должно ... что?

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1504830 писал(а):

Здесь можно решать задачу в самом общем виде: перечислить все гомоморфизмы $\mathbb{Z}_m \to \mathbb{Z}_n$. Возможно, в аддитивной нотации будет проще понять.

Вы имеете в виду задачу по перечислению гомоморфизмов циклических групп или подсчету их количества?

Подскажите, прав ли я буду, если скажу, что количество автоморфизмов $Z_n$ есть $\varphi (n)-1$? Где $\varphi$ - функция Эйлера

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1504833 писал(а):

количество автоморфизмов $Z_n$ есть $\varphi (n)-1$?

А зачем 1 вычитаете? Просто $\varphi(n)$ (функция Эйлера от $n$).

-- Пт фев 12, 2021 18:25:27 --

artempalkin в сообщении #1504833 писал(а):

Вы имеете в виду задачу по перечислению гомоморфизмов циклических групп или подсчету их количества?

Перечислению всех. Количество прилагается. Собственно, эти две задачи не сильно друг от друга отличаются.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1504832 писал(а):

откуда $mk$ должно ... что?

...должно быть кратно $n$.

Это означает, что если $m$ и $n$ взаимно просты, то найдется только тривиальный гомоморфизм.

А если они имеют общие делители, тогда имеет смысл отображать $a$ в такие $b^k$, где $k$ и $m$ имеют общие делители.

-- 12.02.2021, 14:34 --

nnosipov в сообщении #1504834 писал(а):

А зачем 1 вычитаете? Просто $\varphi(n)$ (функция Эйлера от $n$).

Да, все верно, вычитать 1 не нужно!

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1504835 писал(а):

...должно быть кратно $n$.

Это означает, что если $m$ и $n$ взаимно просты, то найдется только тривиальный гомоморфизм.

А если они имеют общие делители, тогда имеет смысл отображать $a$ в такие $b^k$, где $k$ и $m$ имеют общие делители.

Здесь я бы посоветовал просто решить сравнение $mk \equiv 0 \pmod{n}$ относительно $k$. (В любом случае знать, как решаются сравнения 1-й степени вида $ax \equiv b \pmod{m}$, полезно. Это такая простейшая теория чисел.)