Преобразования Фурье в обработке сигналов

[Ivan_B]

Хотелось бы понять как связаны между собой разные виды преобразований Фурье.

То, что написано в Зориче, понятно, но в нем все обрывается на теореме Котельникова.
Технически как делать ДПФ и обратное преобразование понятно. Как делать БПФ, тоже понятно.
Но связь с обычным преобразованием непонятна (при ДПФ тоже получается спектр, но почему?)
Пробовал брать книжки наугад и искать в них ответ.
Одна из попыток:
(В книге описание занимает больше страницы, надеюсь, я не выкинул что-то важное. Если нужно, я добавлю все)

Oppenheim A.V., Schafer R.W. Discrete-Time Signal Processing (3ed., PH, 2009) стр 153-154 писал(а):

... a sequence of samples, $x[n]$, is obtained from a continuous-time signal $x_c(t)$... $T$ is the sampling period...The sampling operation is generally not invertible; ... it is possible to remove the ambiguity by restricting the frequency content of input signals... It is convenient to represent the sampling process mathematically... $s(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty{\delta(t-nT)}$, where $\delta(t)$... is Dirac delta function. ...
$x_s(t)=x_c(t)s(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty{x_c(t)\delta(t-nT)} \qquad \qquad(4.3)$

Этот фрагмент понятен в той же степени, что и ДПФ. При ДПФ умножают на корни из $1$, тут - на дельта-функцию. Фраза "It is convenient to represent the sampling process" ничего не обосновывает. Оно не просто "удобно", оно дает "правильный" результат, этому есть причина, но о ней ничего не сказано. Можно сказать, что процесс дискретизации $x_s(t)=\begin{cases}x_c(t),&\text{если $t=nT, n\in\mathbb Z$;}\\0,&\text{иначе.}\end{cases}$ "удобный". Но если применить преобразование Фурье к такой функции получится $0$. Интуитивно кажется, что не хватает определения что значит "правильный" результат, признака, по которому можно определять, что такой-то процесс дискретизации является "правильным", и доказательства, что умножение на сумму дельта-функций удовлетворяет этому признаку.

Следующее утверждение уже непонятно даже технически:

Oppenheim A.V., Schafer R.W. Discrete-Time Signal Processing (3ed., PH, 2009) стр 156 писал(а):

... consider the Fourier transform of $x_s(t)$. Since, from Eq. (4.3), $x_s(t)$ is the product of $x_c(t)$ and $s(t)$, the Fourier transform of $x_s(t)$ is the convolution of the Fourier transforms $X_c(j\Omega)$ and $S(j\Omega)$ scaled by $\frac{1}{2\pi}$

Формула для преобразования Фурье

Зорич. Математический анализ. Часть II. стр 669 писал(а):

... преобразование Фурье: $\hat f(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\xi}dx$

$x_s(t)$ - функционал. Как его подставлять на место функции, которая определена на $\mathbb R$?
Потом, если получится как-то подставить, то дальше нужна будет какая-то "обобщенная" теорема о свертке...

[wrest]

Вот картинка из книжки
Steven W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing

Преобразованиям Фурье там посвящены главы 8 и 31, книжка бесплатная, на сайте http://www.dspguide.com/ рекомендую, если с английским нет проблем.

[novichok2018]

На лыжах тоже есть, целиком, не по главам.

[Slav-27]

Есть общее определение преобразования Фурье для функций на коммутативной локально компактной (хаусдорфовой) топологической группе. Окружности (вещественные числа с точностью до некоторого периода) соответствует разложение в ряд Фурье, группе вещественных чисел -- классическое преобразование Фурье, группе остатков от деления на фиксированное натуральное число -- дискретное преобразование Фурье. Про это написано в книге Кириллов, Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, глава 4.

Быстрое преобразование Фурье -- это алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье (который работает быстрее, чем "наивный" алгоритм). Дискретизация непрерывного сигнала -- это не преобразование Фурье. "Преобразование Фурье с дискретным временем" соответствует группе целых чисел; в математике это название не используется, потому что это не что иное как операция, обратная к разложению в ряд Фурье.

Ivan_B в сообщении #1504687 писал(а):

$x_s(t)$ - функционал. Как его подставлять на место функции, которая определена на $\mathbb R$?

Преобразование Фурье можно продолжить и на обобщённые функции, про это тоже написано у Кириллова и Гвишиани.

[Евгений Машеров]

Неформально-эмпирическое пояснение.
Если что-то нам недоступно, мы себя убеждаем, что оно нам и не нужно. А если что-то не нужно, мы его выбрасываем, а если ненужное численная величина, то умножаем на ноль.
Мы и хотели бы использовать преобразование Фурье для исходного сигнала, как непрерывного, но всё, что нам доступно - его значения в дискретных точках. И тогда мы уговариваем себя, что значения в промежуточных точках хоть и есть, но нам не нужны, и мы от них избавляемся, домножая исходный сигнал на функцию, равную нулю везде, кроме доступных нам точек. И считаем непрерывное преобразование от произведения двух функций - исходного непрерывного сигнала и "гребёнки" из дельта-функций. При этом учитываем, что Фурье от произведения это свёртка для образов (и наоборот).

[Ivan_B]

Спасибо за Ваши ответы.