2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение10.02.2021, 14:04 


24/11/06
564
г.Донецк,Украина
binki в сообщении #1504527 писал(а):
Перемножив левые и правые части (5),(6), получим:

Если я правильно понял, Вы доказываете, что произведение суммы степеней на разность степеней не может быть точной степенью. Предположим, что доказательство состоялось. Предположим. А обособленно? Мне кажется, что господин Бил желает, именно, этого. Вам надо бы связаться с Билом и уточнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение10.02.2021, 15:29 


19/04/14
321
Iosif1 в сообщении #1504633 писал(а):
Если я правильно понял, Вы доказываете, что произведение суммы степеней на разность степеней не может быть точной степенью.....Мне кажется, что господин Бил желает, именно, этого. Вам надо бы связаться с Билом и уточнить.


Уважаемый Iosif1
Докво для четных степеней $s,t$ приведено для показа, что такой простой метод позволяет получать интересные выводы, которые можно использовать и для полного доква гипотезы Била.
Что касается "....связаться с Билом", то я уже приглашаю его в гости, несмотря на то, что полное докво возможно потребует серьёзной доработки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение10.02.2021, 15:59 


24/11/06
564
г.Донецк,Украина
binki в сообщении #1504637 писал(а):
Докво для четных степеней $s,t$ приведено для показа, что такой простой метод позволяет получать интересные выводы, которые можно использовать и для полного доква гипотезы Била.


Как говорил один мой собеседник: "Это с вашей колокольни".
Не подскажете, на какой алрес Вы послали приглашение господину Билу:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение10.02.2021, 16:40 


22/03/20
102
Iosif1

(Оффтоп)

Задавайте вопросы по существу. Лишние, ничего незначащие сообщения засоряют тему. Потом трудно найти нужное сообщение

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение11.02.2021, 10:20 


19/04/14
321
Добавим разъяснений.
Любую пару чисел можно определить через их сумму и разность.
Применим это к паре нечетных степеней, сумма и разность которых всегда будет четной.
Для целых нечетных взаимно простых чисел $(a,b)$ множество пар нечетных степеней $(a^s,b^t)$ разделим на два подмножества:
$i$ - подмножество, определённое парами $(m_i, n_i)$ с нечетными $(m_i )$, $$a_i^s+b_i^t=2m_i ; \qquad a_i^s-b^t_i=2n_i$$ $j$ - подмножество, определенное парами $(m_j, n_j)$ с нечетными $(n_j)$ $$a_j^s+b_j^t=2m_j; \qquad a_j^s-b_j^t =2n_j$$
В подмножестве - $i$, при нечетных $(m_i)$ числа $(2m_i)$ не являются степенями, поэтому не существуют уравнения Била в целых числах $(x,y,z)$ $$x^s+y^t=z^q; \qquad x^s+(-y^t)=z^q$$
В подмножестве - $j$, при нечетных $(n_j)$ числа $(2n_j)$ не являются степенями, поэтому не существуют уравнения Била в целых числах $(x,y,z)$ $$x^s-y^t=z^q; \qquad x^s-(-y^t)=z^q$$ Следует отметить также, что пары $(a^s_i,b^t_i)$ и пары $(a_j^s,b_j^t)$ могут относится к любому из вариантов нечетных степеней уравнения Била. Это - либо $(x^s,y^t)$, либо $(z^q,x^s)$, либо $(z^q,y^t)$
Таким образом, имеем полное докво гипотезы Била.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение11.02.2021, 12:56 


24/11/06
564
г.Донецк,Украина
binki в сообщении #1504698 писал(а):
В подмножестве - $i$, при нечетных $(m_i)$ числа $(2m_i)$ не являются степенями, поэтому не существуют уравнения Била в целых числах $(x,y,z)$

Уравнение Била существуют для любых пар.
Уточните и это у Ьила за обедом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение12.02.2021, 07:29 


22/03/20
102
binki!
Доказательство для степеней с четными показателями $s,t$ для меня приемлемо.
Однако полное доказательство гипотезы Била осталось под вопросом. Рассмотрение только нечетных чисел пары $m,n$ недостаточно, так как $x^s-(-y^t)=z^q$ возвращает нас к четному $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение15.02.2021, 09:13 


19/04/14
321
Valprim в сообщении #1504797 писал(а):
Рассмотрение только нечетных чисел пары $m,n$ недостаточно, так как $x^s-(-y^t)=z^q$ возвращает нас к четному $m$.

Уважаемый Valprim!
Да, достаточность не сразу понятна. Но многие простые истины часто не замечаем и идем в алгебраические дебри, где легко заблудиться.
Как пример, усилим докво для степеней с четными показателями.
Утверждение.
Для произвольных показателей $(s,t)>3$ и показателя $(2q)$ уравнение Била $$x^s+y^t=z^{2q}$$ не имеет решения в целых числах (кроме нулевых).
Для доква рассмотрим равенство для которого существует решение в целых числах c нечетными $(a,b)$ $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=c^2$$ Для этой произвольной пары $(a,b)$, удовлетворяющей этому равенству, разность и сумма их, то есть $(a-b)$ и $(a+b)$ не могут быть квадратами. Например: $25-9=(5-3)(5+3)=16$
Пара $(a,b)$ - произвольная . Значит это может быть пара степеней с произвольными показателями $(s,t)>3$. Следовательно, не существует решений для уравнений: $$x^s+y^t=z^{2q}; \qquad x^s-y^t=x^{2q}$$ Что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение18.02.2021, 07:58 


22/03/20
102
binki в сообщении #1505093 писал(а):
Для произвольных показателей $(s,t)>3$ и показателя $(2q)$ уравнение Била

binki, Эта произвольность в ограниченных условиях для меня также непонятна. Дайте простейшие разъяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение18.02.2021, 10:03 


19/04/14
321
Valprim в сообщении #1505535 писал(а):
Эта произвольность в ограниченных условиях для меня также непонятна. Дайте простейшие разъяснения.

Уважаемый Valprim!
Рассмотрим в взаимно простых числах более общее уравнение, чем Уравнение Била. Это будет очень интересно. А именно: $$x+y=z \qquad (1.1)$$ Оно охватывает все возможные целые числа, включая сочетания степеней со всеми показателями по уравнению Била.
Два нечетных числа (без потери общности пусть это $(x,y)$ ) из уравнения (1.1) могут составлять разность или сумму, которые в этом случае будут четными числами. То есть $$x+y=2m; \qquad x-y=2n \quad (2.1)$$ Из (2.1) видно, что для взаимно простых чисел $(x,y,z)$, числа $(m,n)$ будут также взаимно простыми и разной четности.
Четное число $(z)$ является составным произведением четного и нечетного числа, включая 1. Пара чисел $(m,n)$ учитывает все возможные целые числа. Поэтому если четное число - степень с показателем больше 3, то эту степень можно представить как $z=4mn$.
В этом случае одно из чисел $(m,n)$ может быть любым четным числом для создания степени с показателем больше 3.

Условие 1. Пусть $(4m)$ - степень четного числа, а $(n)$ - степень нечетного числа.

В таком случае $$4mn=2m \cdot 2n=(x+y)(x-y) \qquad (3.1)$$ И ни $(2m)$ и ни $(2n)$ не являются степенями с показателем больше или равным 2, удовлетворяющих условию 1.
То есть ни $(x+y)=2m$, ни $(x-y)=2n$ не являются степенями с показателями больше 2 ни при каких значениях $(x,y)$ в том числе и когда эти числа являются степенями с показателями больше 3.
Что и требовалось для полного доква Гипотезы Била.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение18.02.2021, 12:52 


17/06/18
406
$2m=4mn$
Не слишком ли смело?
И ещё, 4mn для степени больше 2, мне понятно, а больше 3 -непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение18.02.2021, 13:22 


19/04/14
321
dick в сообщении #1505560 писал(а):
И ещё, 4mn для степени больше 2, мне понятно, а больше 3 -непонятно.

Уважаемый dick, спасибо за найденную опечатку. Конечно и в том и другом случае имелось в виду 2. Что касается $2m=4mn$, то этого в сообщении нигде нет. Имеется в виду уже другое $z$. А не то, что в (2.1). Это степень составная (произведение четного и нечетного числа). Следует также помнить, что (1.1) это уравнение с тремя неизвестными. Надо было обозначить их Большими буквами. $(X,Y,Z)$
Но есть одно упущение. Не пояснено, что рассматриваются степени с нечетными показателями. А докво для степеней с четными показателями рассмотрено ранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение19.02.2021, 07:51 


22/03/20
102
binki, потрясающе просто и действительно интересно. Пока не могу найти какие то ошибки в логике рассуждений. Остались неясности связи чисел решения с неизвестными уравнения (1.1). Надеюсь, что Вы легко это объясните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение19.02.2021, 11:42 


19/04/14
321
Valprim, благодарю и даю более понятное докво.

Условие 1. Используется произвольная пара целых нечетных взаимно простых чисел $(x,y)$.

Рассматривается вариант для степеней с нечетными показателями (для четных рассмотрено ранее).
Имеем свободную пару $(x,y)$, удовлетворяющую условию 1. Сумма и разность этих чисел четная. $$x+y=2m; \qquad x-y=2n \qquad (1)$$ По равенству (1) и условию 1 нетрудно заметить, что пара $(m,n)$ взаимно простая и разной четности.
Далее. Пусть $(4mn)$ свободное произвольное четное число с четным $(m)$ и нечетным $(n)$.
Число $(4mn)$ формирует все числа вида $(8k)$, а значит включает и все степени четного числа с нечетными показателями по Гипотезе Била.
Составим равенство $$4mn=2m\cdot2n=(x+y)(x-y) \qquad (2)$$
Вывод. Из равенства (2) видно, что если $(4mn)$ степень с нечетным показателем больше 2, то ни ($x+y=2m)$, ни $(x-y=2n)$ не являются степенями с показателем больше 2. Так как степенями являются числа $(4m)$ и $(n)$.
А так как рассматриваются все, включая степени, числа $(x,y)$ , то ни сумма, ни разность степеней в равенстве (2) не являются степенями с нечетными показателями по гипотезе Била.
Для степеней с четными показателями Гипотеза Била доказана ранее. Следовательно она полностью доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Била
Сообщение20.02.2021, 08:41 


17/06/18
406
Если $4mn$ это степень, то ни сумма, ни разность $x,y$ не являются степенью.
Но если $4mn$ не степень, то либо сумма, либо разность может быть степенью.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dick


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group