Нужно ли включать концы в промежуток монотонности?

[IvanX]

В задачниках в задачах на исследование функции почему-то не включают концы промежутков монотонности.

Пример из Шипачева:


Функция $f$ убывает на отрезке $[-2,2]$. Отрезок - это промежуток. Почему не включают концы?

[Mikhail_K]

Вы правы, что функция убывает на отрезке $[-2,2]$.

Однако, нужно помнить, что если функция убывает на каком-либо промежутке, то она убывает и на любом вложенном в него промежутке. Поэтому также верно, что функция убывает на промежутке $(-2,2)$, или, например, на промежутке $(-1,0]$.

Автор задачника предлагает при решении задачи применять следующее утверждение: если производная функции строго меньше нуля на каком-либо промежутке, то функция на этом промежутке убывает (и аналогичное утверждение насчёт возрастания). Эти утверждения верны. Однако, они не позволяют установить убывание функции на отрезке $[-2,2]$, а только на интервале $(-2,2)$.

По-хорошему, конечно, нужно бы уточнить условие задачи: например требовать нахождение не просто промежутков монотонности (которых много), а максимальных промежутков монотонности. Тогда, действительно, для убывания $(-2,2)$ был бы неправильным ответом, а $[-2,2]$ правильным. Ну и пришлось бы само рассуждение сделать чуть более сложным.

В том виде, в котором есть - условие задачи недостаточно внятное, но рассуждение в решении вполне верное и подходящее к этому условию. Конечно, недостаточная внятность условия - это не очень хорошо.