Предельный переход между функциями

[misha.physics]

Otta в сообщении #1503802 писал(а):

Какое равенство?

Ой, не равенство, а хочу доказать, что

Otta в сообщении #1503648 писал(а):

$g(x,a)=\int_{x_0}^x\{a^2t^2-a\sqrt{1+a^2t^4}\}\, dt = \dfrac{a^2}{3}({x^3-x_0^3})-a\int_{x_0}^x\sqrt{1+a^2t^4}\, dt$ равномерно (на том же множестве) сходится к $f(x)=\dfrac 12\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x_0}\right)$, здесь $x_0$ -- произвольное положительное число.

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503801 писал(а):

так как Mathematica при вычитании значений первообразных выдает какие-то разрывы на графике, но это не так важно.

Я тоже пробовала. Можете позаимстовать готовое и посмотреть. Там прет та самая якобы осцилляция, но это артефакт. Мы уже выяснили, что функция монотонна, можно точно так же выяснить, что ее разность с предельной монотонна тоже. В общем, в действительности ничего там не осциллирует.

Manipulate[ Plot[Evaluate[   a^2 (x^3 - b^3)/3 - a*Integrate[Sqrt[1 + a^2 t^4], {t, b, x},  Assumptions -> (x | a) \[Element] PositiveReals] - (1/(2 x) -
      1/(2 b))], {x, 0.1, 10}], {a, 10, 100}, {b, 2, 10}]

misha.physics в сообщении #1503803 писал(а):

Ой, не равенство, а хочу доказать, что

Теоремы Вам нужно посмотреть о дифференцируемости предельной функции и проч.

Здесь: если семейство сходится равномерно на отрезке, то интегралы по этому отрезку сходятся к интегралу от предельной функции. Я не букву воспроизвожу, смысл, хотя буква тоже примерно такова. За буквой сходите в учебники по матану, какой Вам больше нравится. По-моему, это есть везде.

[misha.physics]

Otta,
я так понял, теоремы нужны, чтобы доказать, что можно брать предел под знаком интеграла. Значит если это принять, то можно к подынтегральной функции снова применить умножение и деление на сопряженное, перейти к пределу, проинтегрировать его и получить, что $g(x,a)$ сходиться к $f(x)=\dfrac 12\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x_0}\right)$. Значит вся проблема у меня была с постоянной интегрирования, (точнее с тем, что я её просто не писал, а пытался сравнивать первообразные). И я умудрился растянуть это на две с хвостиком страницы :) Спасибо за терпение, и за пример в Mathematica, я даже не догадывался, что там можно ползунки перемещать.

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503888 писал(а):

Значит если это принять, то можно к подынтегральной функции снова применить умножение и деление на сопряженное, перейти к пределу, проинтегрировать его и получить,

Ничего не поняла Зачем?

misha.physics в сообщении #1503888 писал(а):

я так понял, теоремы нужны, чтобы доказать, что можно брать предел под знаком интеграла.

Не только. И это, кстати, касается вопроса - почему у Вас были проблемы. Теоремы дают ответ, что именно и куда именно сходится. Ваше семейство, вообще говоря, в изначально предоставленном виде, не обязано было сходиться даже поточечно. А угадать постоянную интегрирования - можно, конечно. Но так никто не делает. Вы же не угадали. Надо пользоваться результатами, они для того и предназначены.

[misha.physics]

Otta в сообщении #1503918 писал(а):

Ничего не поняла Зачем?

Ну я имел ввиду сделать так:
$\lim\limits_{a\to+\infty}g(x,a)=\lim\limits_{a\to+\infty}\int_{x_0}^x\left[a^2t^2-a\sqrt{1+a^2t^4}\right]\, dt=-\lim\limits_{a\to+\infty}\int_{x_0}^x\left[\frac{a^2}{a^2t^2+a\sqrt{1+a^2t^4}}\right]\, dt=-\int_{x_0}^x\lim\limits_{a\to+\infty}\left[\frac{1}{t^2+\sqrt{\frac{1}{a^2}+t^4}}\right]\, dt=-\frac{1}{2}\int_{x_0}^x\frac{dt}{t^2}=\dfrac 12\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x_0}\right)=f(x)$

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503920 писал(а):

Ну я имел ввиду сделать так:

Можно, но необязательно. Вы же уже выяснили, что сходимость подынтегральных функций там есть. Где-то на первой странице. Ну и достаточно, в принципе. Даже поточечной достаточно сходимости, если отграничиться от нуля и использовать теорему Лебега. Но можно и более известные результаты (более известные только потому, что интеграл Лебега изучается не так часто) для интеграла Римана использовать, благо сходимость равномерная есть тоже. Но смысл такой, да.
Вся проблема в корректности предельного перехода.