Абсолютная сходимость ряда

[vatrushka]

Собственно, ряд
$a_n = \frac{(-1)^n}{ln^2(n + 1)} (1 - cos \frac{1}{\sqrt{n}})$
Я немного упростил, получив $a_n = \left(\frac{sin{\frac{1}{\sqrt{(n)}}}}{\ln(n+1)}\right)^2$
Но вот что делать дальше....

[Otta]

vatrushka
Признак сравнения (эквивалентность)+интегральный признак Коши.
Скобку уберите, ненужная красивость.

[vatrushka]

Эквивалентность с чем?
Я забил прямо этот интеграл в вольфрам и он не дал мне ответа про сходимость - расходимость

[artempalkin]

vatrushka в сообщении #1503530 писал(а):

Эквивалентность с чем?

С чем эквивалентен $\sin\frac1{\sqrt n}$ при $n\to \infty$? А с чем эквивалентен $\ln (n+1)$ при тех же условиях?

-- 31.01.2021, 15:35 --

vatrushka в сообщении #1503484 писал(а):

Я немного упростил, получив $a_n = \left(\frac{\sin{\frac{1}{\sqrt{(n)}}}}{\ln(n+1)}\right)^2$
Но вот что делать дальше....

А куда делась $(-1)^n$?

-- 31.01.2021, 15:36 --

И еще кое-чего не хватает. Неправильно вы преобразования проделали.

[vatrushka]

ну $-1$ я опустил, ведь меня интересует абсолютная сходимость

[artempalkin]

vatrushka в сообщении #1503533 писал(а):

ну $-1$ я опустил, ведь меня интересует абсолютная сходимость

Ага, ну просто вы оставили название $a_n$, выглядит необычно. Остальное тоже на сходимость не влияет, но как бы возникает вопрос, почему преобразования неверны

[vatrushka]

$a_n = 2 sin^2 (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot (-1) ^ n $
так точнее, но в общем и целом на сходимость не влияло

[artempalkin]

vatrushka в сообщении #1503535 писал(а):

$a_n = 2 \sin^2 (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot (-1) ^ n$

Раньше было лучше

artempalkin в сообщении #1503532 писал(а):

С чем эквивалентен $\sin\frac1{\sqrt n}$ при $n\to \infty$? А с чем эквивалентен $\ln (n+1)$ при тех же условиях?

Вопрос остается в силе

(Оффтоп)

sin лучше оформлять как \sin

[vatrushka]

Если финализировать, то
$a_n = 2 \frac{\sin^2 (\frac{1}{2\sqrt{x}})}{ln^2(n+1)} \cdot (-1) ^ n$

-- 31.01.2021, 15:58 --

$\sin \frac{1}{\sqrt {n}} \sim \frac{1}{\sqrt {n}} $

-- 31.01.2021, 16:06 --

Ну да, а $\ln(n+1) \sim n + 1$
$a_n \sim 2 \frac{\frac{1}{2\sqrt n}}{n ^ 2}$
$a_n \sim \frac{2}{n ^ 2 \sqrt n}$
Ну и дальше по прзнаку сравнения $\frac{2}{n ^ 2 \sqrt n} < \frac{1}{n^2}$, значит сходится

[ewert]

vatrushka в сообщении #1503537 писал(а):

Если финализировать, то
$a_n = 2 \frac{\sin^2 (\frac{1}{2\sqrt{x}})}{ln^2(n+1)} \cdot (-1) ^ n$

-- 31.01.2021, 15:58 --

$\sin \frac{1}{\sqrt {n}} \sim \frac{1}{\sqrt {n}} $

А вот так делать нельзя -- до перехода к абсолютным величинам это незаконно.

-- Вс янв 31, 2021 17:09:43 --

vatrushka в сообщении #1503537 писал(а):

Ну да, а $\ln(n+1) \sim n + 1$

Ну а это вообще за гранью.

[artempalkin]

vatrushka в сообщении #1503537 писал(а):

Ну да, а $\ln(n+1) \sim n + 1$

Нееееее, очень далеко. Логарифм миллиона это порядка 10, а $n+1$ от миллиона - это, очевидно, 1 000 001

[vatrushka]

Да, я немного разогнался не туда, эквивалентность с логарифмом не верна

[thething]

vatrushka
Зачем лишняя возня с синусами? Вы не знаете, что $1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$ (при $x\to0$)?

Почему не обращаете внимания на совет

Otta в сообщении #1503485 писал(а):

+интегральный признак Коши

?

Вместо интегрального признака можно ещё телескопический признак использовать, предварительно учтя, что $\ln(n+1)\sim\ln n$.

[vatrushka]

Во, а \int \limits_1^\infty \frac{1}{n ln^2(n+1)} сходится

[artempalkin]

vatrushka в сообщении #1503546 писал(а):

Во, а $\int \limits_1^\infty \frac{1}{n ln^2(n+1)}$ сходится

Откуда вы знаете?