Дифференциальное уравнение потерь в линии

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502531 писал(а):

А вот и прошу пояснить, можно или нет.

Ну, пожалуй, то, что нельзя, должно быть очевидно. Иначе проблема не в диффурах, а в школьном курсе физики за 7 класс.

S_WT в сообщении #1502531 писал(а):

Но ведь и здесь, $a$ измеряется в Вт/м (в относительных единицах если),

Нет, если это относительное изменение на единицу длины, то $a$ измеряется в обратных метрах. Собственно, тут можно даже не думать - у вас единицы указаны в условии задачи.

А с минусом правильно.

[S_WT]

Pphantom в сообщении #1502537 писал(а):

Нет, если это относительное изменение на единицу длины, то $a$ измеряется в обратных метрах. Собственно, тут можно даже не думать - у вас единицы указаны в условии задачи.

Значит я написал неправильно, раз справа мощность, а слева обратные метры, и не знаю как правильно.

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502540 писал(а):

Значит я написал неправильно, раз справа мощность, а слева обратные метры, и не знаю как правильно.

А что вам мешает записать относительное изменение мощности? Абсолютное вы уже записали ($-dP_l$), начальное значение для этого участка $P_l$ - тоже.

[S_WT]

Давайте уже завтра продолжим. На сегодня все, нет времени.

[S_WT]

Pphantom, как я это вижу. Для того, что бы соблюсти размерности можно написать $W = (W/m)\cdot m$, тода у нас и слева и справа будут Ватты, значит будет справедливо записать, заменив $a$ на некоторый безразмерный коэффициент $k$

$$-dPl = k\cdot P_l\cdot dx_l$$

далее выражаем $a$ через коэффициент $k$

$$a = 10\log(k)$$

отсюда

$$k = 10^{0.1\cdot a}$$

тогда получаем формулу

$$-dP_l = P_l\cdot 10^{0.1a} \cdot dx_l$$

и отсюда уравнение

$$\frac{dP_l}{dx_l} = -P_l\cdot 10^{0.1a}$$

Но это все равно не правильно, ведь $a$ дается в единицах $dB/m$ в то время как изменение мощности $dP_l$ выражается для участка не в 1 метр, а для участка $dx$. Как правильно найти коэффициент $k$?

[S_WT]

Del, коэффициент $k$ то не безразмерный, а опять обратные метры, проглядел.

[Pphantom]

Ну да. А теперь сравните получившееся с тем, что было записано "интуитивно".

[S_WT]

Это все неправильно. Во первых коэффициент $k$ должен быть не безразмерный, во вторых численное решение дает угасание мощности практически до нуля уже через несколько метров линии, это крайне неправдоподобно. Как правильно найти коэффициент $k$?

[Pphantom]

Не все, а только коэффициент. Сначала-то вы собирались составлять дифференциальное уравнение - его и составили, причем верно.

А с коэффициентом ситуация проще. У вас есть $k$ в обратных метрах (вы это уже даже выяснили, постарайтесь не забывать обратно) и фактически он же, но заданный в дБ на метр. Вопрос в том, как перевести второе в первое.

Сделать это можно, например, так: записать решение дифференциального уравнения (с коэффициентом $k$) и подставить в него известное вам затухание на дистанции 1 метр. Получится алгебраическое уравнение для $k$, которое тривиально решается.

[S_WT]

Да, все получилось, спасибо. Пройдусь по порядку, если где то не точно скажите.

Диф уравнение:

$$\frac{dP_l}{dx_l}=-kP_l$$

По исходным данным $A =- 0.1dB/m$ (минус так как мощность убывает). Выведем коэффициент $k$ диф уравнения. Относительное изменение мощности через 1 метр равно

$$k_a = 10^{0.1\cdot a}$$

или

$$k_a = 10^{0.1 \cdot (-0.1)}= 0.9772$$

Т.е. если на входе линии будет мощность $1W$, то через метр будет $0.9772W$.

Общее решение ДУ :

$$P_l = C \cdot e^{-kx_l}$$

где $C$ коэффициент, физически это мощность на входе линии $P=5W$, тогда при $x_l=0$

$$P(0)=C \cdot e^{0}=5$$

значит $C=5$

далее, при $x_l=1$ и входной мощности $1W$

$$P(1) = 1 \cdot 0.9772 = e^{-k \cdot 1}$$

отсюда $k = - \ln(0.9772)$ или $k = 0.0231$, значит

$$\frac{dP_l}{dx_l}= -0.0231 \cdot P_l$$

Решение

$$P_l = P \cdot e^{-0.0231\cdot x_l}$$

$$P_l = 5 \cdot e^{-0.0231 \cdot 70} \approx 1 W$$

[Pphantom]

Да, вроде все правильно.

[S_WT]

В общем то можно было найти ответ без диф уравнения: $0.1 dB/m$ для 70 метров это 7 дБ. А 7 дБ это как раз около 5 раз в относительных единицах по мощности. Но было интересно сделать через ДУ, к тому же можно находить точный ответ и не для целого числа метров, что важно на СВЧ. Спасибо.

[Pphantom]

Тогда уж проще рассуждать так. Величина $\tau=1/k$ имеет размерность длины и по смыслу - расстояние, на котором мощность затухнет в $e \approx 2.71828\dots$ раз (оно обычно именуется "характерной длиной затухания" или как-нибудь аналогично). То же затухание в $e$ раз соответствует $10 \cdot \lg e \approx 4.343\dots$ дБ просто по определению. Следовательно, при затухании $a=0.1$ дБ/м искомая длина $\tau \approx 43.43\dots$ метра. Отсюда $k=1/43.43 \approx 0.023$. Иначе говоря, коэффициент $k$ выражается через $a$ как $k=a/(10 \lg e)$.

Так что $a$ и $k$ действительно прямо пропорциональны друг другу, переход от одного к другому - это по сути дела просто смена единиц, такая же, как пересчет массы в килограммах в граммы и т.п. Вы на самом деле и сами бродили рядом с этим результатом, но сами себя запутали исключительно неудачным выбором обозначений.