Теорема Штольца. 1

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503014 писал(а):

напишите, в полном и аккуратном виде,
- определение общей последовательности $f(n)$
- определение того, что $f(n)$ стремится к $l$ при $n \to \infty$?
- следуя из предыдущего, доказательство того, что последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$, по вашему мнению, стремится к $l$

1. Если Вы имеете в виду общее определение последовательности, то самое общее ее определение, какое я нашел, это

Цитата:

Всякое отображение $f:\mathbb {N} \to X$ множества натуральных чисел $\mathbb {N}$ в заданное множество $X$ называется последовательностью (элементов множества $X$). (Википедия)

Числовая последовательность $f(n)$ по Фихтенгольцу это ряд чисел

$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \cdots, x_{n'}, \cdots,$
которые занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров

(мне кажется, что часть определения "расположены в порядке возрастания номеров" не является необходимой, необходимо, чтобы члены последовательности были занумерованы, но располагаться они могут как попало, от этого отображение не изменится, просто удобнее, если они расположены в порядке возрастания - или убывания - номеров ).

Последовательность считается заданной, если по ее номеру можно определить любой ее член.

Таким образом,

$$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \cdots, x_{n'}, \cdots, \;\;\; \;\; \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}, \;\;\;\;\;\frac{x_n}{y_n}, \;\;\;\;\; \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

(последняя при фиксированном $N$ -- или именно из-за фиксированного $N$ это выражение не может считаться последовательностью?)

это последовательности, но они не заданы. Или их нельзя считать последовательностями?

Если какие-нибудь из приведенных выражений считаются последовательностями, то не могли бы Вы указать, какие именно?

Три последние (последовательности?), по-моему, можно было бы условно назвать заданными в недостаточной степени, то есть определенными в недостаточной степени - недостаточной для того, чтобы найти любой член, - тем не менее, в какой-то степени они все же определены: мы видим, что они отличаются друг от друга.

Первая последовательность (?) дана в самом общем виде, то есть она совершенно не определена.

2.

Цитата:

число $a$ называется пределом последовательности $x_{n}$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N_{\varepsilon }$, зависящий от $\varepsilon$, такой, что для любого $n>N_{\varepsilon }$ выполняется неравенство $|x_{n}-a|<\varepsilon$. (Википедия)

Или

Цитата:

Число $a$ есть предел варианты $x=x_n$, если ее значения отличаются от $a$ сколь угодно мало, начиная с некоторого места. (Фихтенгольц, http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_1.pdf, стр.46)

В таком случае говорят, что $x_n$ стремится к $a$ при $n \to \infty$.

Над третьим заданием работаю, но хотелось бы, определиться с основным понятием: что считать последовательностью.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

(мне кажется, что часть определения "расположены в порядке возрастания номеров" не является необходимой, необходимо, чтобы члены последовательности были занумерованы, но располагаться они могут как попало, от этого отображение не изменится, просто удобнее, если они расположены в порядке возрастания - или убывания - номеров ).

Просто набор элементов или чисел это "множество", необязательно как-то упорядоченное, т.е. возможно и без "отношения порядка" на нем. Когда говорят "последовательность", то предполагается, что этот набор упорядочен некоторым образом. Поэтому, собственно, и название "последовательность": каждый элемент следует за каким-то другим.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Последовательность считается заданной, если по ее номеру можно определить любой ее член.

Да, это принципиально.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Таким образом,

$$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \cdots, x_{n'}, \cdots, \;\;\; \;\; \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}, \;\;\;\;\;\frac{x_n}{y_n}, \;\;\;\;\; \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

(последняя при фиксированном $N$ -- или именно из-за фиксированного $N$ это выражение не может считаться последовательностью?)

это последовательности, но они не заданы. Или их нельзя считать последовательностями?

Если мы знаем значение $x_n$ и $y_n$ для каждого $n$, как например в случае теоремы Штольца, то с первыми тремя вообще нет проблем. И последнее тоже будет последовательностью если $N$ известно (фиксировано или известен ее закон зависимости от $n$), т.е. там тоже известно $f(n)$ для каждого $n$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Три последние (последовательности?), по-моему, можно было бы условно назвать заданными в недостаточной степени, то есть определенными в недостаточной степени - недостаточной для того, чтобы найти любой член, - тем не менее, в какой-то степени они все же определены: мы видим, что они отличаются друг от друга.

Почему это в недостаточной если по каждому $n$ мы можем определить значение члена последовательности с этим номером? Но для последней, опять же, в случае когда мы также знаем и $N$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Первая последовательность (?) дана в самом общем виде, то есть она совершенно не определена.

Это зависит от того что вы понимаете под "дана в самом общем виде". Если мы знаем $x_n$ для каждого $n$ (т.е. или даны конкретные числа, или можем вычислить $x_n$ по известному правилу для каждого $n$), то это именно последовательность согласно определению последней.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Число $a$ есть предел варианты $x=x_n$, если ее значения отличаются от $a$ сколь угодно мало, начиная с некоторого места. (Фихтенгольц, http://if.pskgu.ru/ebooks/f1/1_1.pdf , стр.46)

Это пояснение, а не определение, как у Фихтенгольца и написано ("коротко может быть сформулировано так"). Строгое определение у Фихтенгольца есть на той же странице немного выше, и оно такое же как в Википедии.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Над третьим заданием работаю, но хотелось бы, определиться с основным понятием: что считать последовательностью.

Надеюсь ответы выше вам помогли разобраться. Но, как я уже писал, вам явно не хватает практики работы с последовательностями и их пределами, в частности не хватает примеров (вы изучили все примеры из Фихтенгольца на последовательности и их пределы до теоремы Штольца?) и решения задач на эти темы.

А по теме теоремы Штольца еще раз повторяю, что проблема была не в том, чтобы сформировать какую-то последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$. Это всегда можно сделать если зафиксировать $N$ (и даже если взять $N$ каким-то известным образом зависящим от $n$), а в том, чтобы получить $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}$ для данного произвольного $\varepsilon$ и любого $n>N$ (что нам необходимо для того, чтобы из этого получить $\vert \frac {x_n}{y_n}-l {\vert}<\varepsilon$)

Ведь для того, чтобы иметь $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}$ в общем случае будет требоваться зависимость $N$ от $\varepsilon$ (как и указано в определении, которое вы процитировали: "существует номер $N_{\varepsilon }$, зависящий от $\varepsilon$"), а в силу произвольности $\varepsilon$ это значит, что мы не будем знать (не сможем вычислить) значение каждого члена $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$. Для этого я вам и давал третье задание, чтобы вы убедились сами, что вы не сможете при этом доказать, что $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ это одновременно и последовательность (когда мы знаем значение каждого ее члена) и она стремится к $l$

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Три последние (последовательности?), по-моему, можно было бы условно назвать заданными в недостаточной степени

Каждый раз, когда придумываете новый термин, которого нет в учебнике, остановитесь и подумайте: "А оно мне точно надо? Будет ли так удобнее что-то доказывать или находить? А почему тогда этого нет в книге? Возможно, и я смогу без этого обойтись?"

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Первая последовательность (?) дана в самом общем виде, то есть она совершенно не определена.

Нет. Если сказано что-нибудь "в самом общем виде" типа "пусть $x_1,x_2,x_3,\ldots$ — некоторая последовательность", то это означат, что последовательность задана (начиная с этого места в тексте). Если никакой конкретной формулы, по которой можно вычислять конкретные значения членов этой последовательности, не задано, то, вероятно, это означает, что она (формула) для решения задачи (или доказательства теоремы) и не понадобится.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503049 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Три последние последовательности

то есть

$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}, \;\;\;\;\;\frac{x_n}{y_n}, \;\;\;\;\; \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

по-моему, можно было бы условно назвать заданными в недостаточной степени

Почему это в недостаточной если по каждому $n$ мы можем определить значение члена последовательности с этим номером?

Разве мы можем? Тогда скажите, какому конкретному числу равно

$$\frac {x_3}{y_3}.$$

Someone в сообщении #1503053 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Первая последовательность (?) дана в самом общем виде, то есть она совершенно не определена.

Нет. Если сказано что-нибудь "в самом общем виде" типа "пусть $x_1,x_2,x_3,\ldots$ — некоторая последовательность", то это означат, что последовательность задана (начиная с этого места в тексте). Если никакой конкретной формулы, по которой можно вычислять конкретные значения членов этой последовательности, не задано, то, вероятно, это означает, что она (формула) для решения задачи (или доказательства теоремы) и не понадобится.

В этом смысле она, конечно, достаточно определена, или, может быть, даже, можно сказать, задана.

Но если взять последовательность $\frac {x_n}{y_n}$, не указывая, какие последовательности имеются в виду под ${x_n}$ и ${y_n}$, то, по сравнению, например, с последовательностью

$$\frac {(-1)^n}{n},$$

где $x_n={(-1)^n}, \; y_n=n$, она недостаточно определена, то есть она не задана так, чтобы можно было по ее выражению узнать любой ее член, но определена хотя бы в том, что представляет собой отношение неопределенных - незаданных - последовательностей $x_n, y_n$.

[artempalkin]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Числовая последовательность $f(n)$ по Фихтенгольцу это ряд чисел

Я бы постарался избегать в определении последовательности использовать слово "ряд", потому что "ряд" - это совсем другое, и тоже имеет отношение к последовательностям :)

[Vladimir Pliassov]

artempalkin в сообщении #1503063 писал(а):

Я бы постарался избегать в определении последовательности использовать слово "ряд", потому что "ряд" - это совсем другое, и тоже имеет отношение к последовательностям :)

Спасибо, учту. А какое слово Вы бы предложили?

[artempalkin]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503064 писал(а):

Спасибо, учту. А какое слово Вы бы предложили?

В зависимости от требуемого уровня точности. Наверное, идеал - это "упорядоченное счетное множество чисел" (если речь о числовой последовательности). Если попроще, то можно просто "бесконечный набор".

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503057 писал(а):

Разве мы можем? Тогда скажите, какому конкретному числу равно

$$\frac {x_3}{y_3}.$$

А откуда я знаю про какие $x_n$ и $y_n$ вы говорите? Но если это числа и элементы каких-то последовательностей, то этого нам уже достаточно, поскольку согласно определению последовательности по ее номеру можно определить любой ее член. Неважно чему конкретно он равен, и неважно предъявлена ли какая-то конкретная формула, важно что он однозначно определен.

И если речь идет о теореме Штольца, то согласно ее условию $x_n$ и $y_n$ это последовательности, значит и там тоже $\frac {x_3}{y_3}$ однозначно определен.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503057 писал(а):

Но если взять последовательность $\frac {x_n}{y_n}$, не указывая, какие последовательности имеются в виду под ${x_n}$ и ${y_n}$, то, по сравнению, например, с последовательностью

$$\frac {(-1)^n}{n},$$

где $x_n={(-1)^n}, \; y_n=n$, она недостаточно определена, то есть она не задана так, чтобы можно было по ее выражению узнать любой ее член, но определена хотя бы в том, что представляет собой отношение неопределенных - незаданных - последовательностей $x_n, y_n$.

В математике нет терминов, которые вы здесь употребляете: "недостаточно определена", "незадана" и т.д. И также не применяются термины в бытовом смысле как это делаете вы, у всех терминов есть четкие определения. Если у каждого элемента последовательности есть какое-то значение (неважно какое конкретно, но для каждого $n$ существует одно $x_n$), то она считается заданной и определенной.

И вы же уже цитировали определение

Vladimir Pliassov в сообщении #1503039 писал(а):

Всякое отображение $f:\mathbb {N} \to X$ множества натуральных чисел $\mathbb {N}$ в заданное множество $X$ называется последовательностью (элементов множества $X$).

Здесь же не указан конкретный вид отображения, правда? Но известно, что это "отображение", значит одному $n$ соответствует один определенный элемент множества $X$. "Определенный" здесь означает, что для него существует какая-то формула или алгоритм, но не означает, что они должны быть явно предъявлены. Поэтому всегда когда в каком-то условии возникает эта конструкция, то значит есть последовательность. Все, этого достаточно. И при этом никто про нее не говорит, что она "не задана" или "не определена" если точная формула (или алгоритм, таблица и т.д.) для $f$ не были предъявлены.

Другими словами, мы знаем, что правило $f:\mathbb {N} \to X$ существует, но нам неважно какое оно конкретно.

Еще можно сказать, что $\frac {x_n}{y_n}$ это некоторая абстрактная последовательность, а $\frac {(-1)^n}{n}$ - один из конкретных примеров подобной последовательности.

Вы вообще знакомы с принципом абстракции? Большинство теорем доказывается для некоторых абстрактных множеств, последовательностей, функций и т.д. Они при этом могут удовлетворять определенным условиям, как последовательности из теоремы Штольца, но совершенно не обязательно знать для них конкретные формулы или алгоритмы. Достаточно просто того, что для данной последовательности каждый ее член $f(n)$ равен какому-то одному определенному числу (или элементу, если это не числовая последовательность). Аналогично и в теореме Пифагора не указаны же конкретные стороны треугольника, а рассматривается произвольный "общий" или "абстрактный" треугольник, однако со свойством того, что он прямоугольный и что это "треугольник" в принципе, т.е. его стороны этот прямые с какими-то однозначно определенными длинами, а не какие-то непонятные кривые, причем еще меняющие свою длину каждую минуту.

И я вас уже спрашивал проходили ли вы теоремы о последовательностях и пределах из Фихтенгольца еще до теоремы Штольца. Там обсуждаются бесконечно малые последовательности, ограниченные, их суммы, произведения и т.д. Не задаются же при этом конкретные алгоритмы для вычисления каждого члена последовательности, просто полагается что каждый элемент равен какому-то определенному числу.

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503064 писал(а):

А какое слово Вы бы предложили?

Чем вам не нравится такое: функция натурального аргумента. Глядя на запись $f(n)$, оно само просится на язык. Что такое натуральные числа, мы знаем до изучения последовательностей. Что такое функция, тоже.

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1503075 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1503064 писал(а):

А какое слово Вы бы предложили?

Чем вам не нравится такое: функция натурального аргумента. Глядя на запись $f(n)$, оно само просится на язык. Что такое натуральные числа, мы знаем до изучения последовательностей. Что такое функция, тоже.

Мне нравится, просто у Фихтенгольца написано:

Цитата:

Представим себе натуральный ряд

$$1, 2, 3, \ldots, n, \cdots, {n'}, \cdots, \eqno {(1)}$$

... если теперь заменить в ряде (1) каждое натуральное число $n$ некоторым вещественным числом $x_n$, то получится числовая последовательность

$$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \cdots, x_{n'}, \cdots,$$

и мне надо было переделать это предложение на "числовая последовательность это и т.д.," так что тут надо было как-то назвать это множество чисел.

[artempalkin]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503092 писал(а):

Представим себе натуральный ряд

То, что позволено Фихтенгольцу, не позволено простому смертному :)

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1503014 писал(а):

напишите... - следуя из предыдущего, доказательство того, что последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$, по вашему мнению, стремится к $l$

3. То, что последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$, доказывается у Фихтенгольца при доказательстве теоремы Штольца. Изложу эту часть доказательства своими словами.

Пусть при $n \to \infty$ числовая последовательность $y_n \to \infty$, причем, во всяком случае, начиная с некоторого номера $n, \; y_{n+1}>y_n$, тогда

$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}},$$

если предел справа -- конечный или бесконечный -- существует.

Сначала доказательсnво проводится для конечного предела $l$.

Пусть $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=l$.

Тогда для любого заданного $\varepsilon$ найдется такой номер $N$, что для $n>N$ будет

$$\Bigg \vert \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}-l\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2},$$

то есть

$$l-\frac {\varepsilon}{2}<\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}<l+\frac {\varepsilon}{2}.$$

Номером любого члена последовательности $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ является $n$ (а не $n-1$), соответственно, номером члена $\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}$ этой последовательности является $N+1$, так что

все члены рассматриваемой последовательности от $\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}$ до $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, то есть все дроби

$$\frac{x_{N+1}-x_{N}}{y_{N+1}-y_{N}}, \;\; \frac{x_{N+2}-x_{N+1}}{y_{N+2}-y_{N+1}}, \;\; \ldots, \;\; \frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{y_{n-1}-y_{n-2}}, \;\; \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} \eqno {(2)},$$

находятся в промежутке $(l-\frac {\varepsilon}{2}; \; \; l+\frac {\varepsilon}{2}).$

Сложим между собой все числители дробей (2) и также между собой все знаменатели этих дробей, первую сумму сделаем числителем, а вторую знаменателем некоторой дроби. Она будет представлять собой

$$\frac{x_n-x_{N}}{y_n-y_N}.$$

(Эта дробь не является одним из членов последовательности $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, если только не допустить случайных совпадений или того, что $N=n-1$.)

По свойству медианты, вследствие того, что все знаменатели дробей (2) положительны (поскольку $y_{n+1}>y_n$), $\frac{x_n-x_{N}}{y_n-y_N}$ также находится в промежутке $(l-\frac {\varepsilon}{2}; \; \; l+\frac {\varepsilon}{2})$, таким образом при $n>N$

$$\Bigg \vert \frac{x_n-x_{N}}{y_n-y_{N}}-l\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2},$$

то есть последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1503149 писал(а):

То, что последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$, доказывается у Фихтенгольца при доказательстве теоремы Штольца

Это вам только кажется. Ничего подобного там не утверждается, или приведите конкретную цитату.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503149 писал(а):

таким образом при $n>N$

$$\Bigg \vert \frac{x_n-x_{N}}{y_n-y_{N}}-l\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2},$$

то есть последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$.

1) Сформулируйте полностью и корректно определение "последовательности $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$" про которую вы здесь говорите. Включая определение числа $N$ в этой последовательности. Я не зря просил вас дать определение последовательности, примените его для данного случая.
2) Сформулируйте полностью и корректно утверждение "последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$" вместо слов "то есть". Я не зря просил вас дать определение предела последовательности, примените его для данного случая.