Теорема Штольца. 1

[Padawan]

Vladimir Pliassov
$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ ограничена (она лежит в интервале $(l-\varepsilon,l+\varepsilon)$).

[Vladimir Pliassov]

Brukvalub в сообщении #1502822 писал(а):

Интересно, где тс подсмотрел обозначение "одна последовательность стремится к другой последовательности"?

(Оффтоп)

Да я и сам думал: "Что это я такое пишу?"

Но все же, если из двух слагаемых одно стремится к нулю, то сумма стремится к величине второго слагаемого - или нет?

[Vladimir Pliassov]

Padawan в сообщении #1502824 писал(а):

Vladimir Pliassov
$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ ограничена (она лежит в интервале $(l-\varepsilon,l+\varepsilon)$).

$$\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}.$$

Отсюда

$$\frac{x_n}{y_n}-l=\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l+\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Rightarrow \Bigg \vert \frac{x_n}{y_n}-l\Bigg \vert \leqslant \Bigg \vert \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\Bigg \vert +\Bigg \vert \frac{x_N}{y_n}\Bigg \vert +\Bigg \vert -\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Bigg \vert.$$

Если бы в правой части оставались только $\Bigg \vert \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\Bigg \vert$ и $\Bigg \vert \frac{x_N}{y_n}\Bigg \vert$, то все было бы в порядке, но остается еще $\Bigg \vert -\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Bigg \vert$, у которого в числителе $x_n$, и это все портит. Как от него избавиться?

[Brukvalub]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502834 писал(а):

Но все же, если из двух слагаемых одно стремится к нулю, то сумма стремится к величине второго слагаемого - или нет?

Житейский термин "стремится к чему-то" имеет много разных математических смыслов. Есть понятие предела по базе, есть понятие асимптотики, есть понятие стягиваемости, есть понятие некасательных пределов и т.п. и т.д.
Все эти понятия имеют точные определения, а рукомаханиями я заниматься не привык.

(Оффтоп)

Мне интересно, что бы сказали композиторы, если бы я с таким же, как и тс, рвением взялся бы учить их правильному написанию музыки?
Если что, то я в музыке разбираюсь примерно как тс в математике...

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502842 писал(а):

Padawan в сообщении #1502824 писал(а):

Vladimir Pliassov
$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ ограничена (она лежит в интервале $(l-\varepsilon,l+\varepsilon)$).

$$\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}.$$

Отсюда

$$\frac{x_n}{y_n}-l=\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l+\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Rightarrow \Bigg \vert \frac{x_n}{y_n}-l\Bigg \vert \leqslant \Bigg \vert \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\Bigg \vert +\Bigg \vert \frac{x_N}{y_n}\Bigg \vert +\Bigg \vert -\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Bigg \vert.$$

Если бы в правой части оставались только $\Bigg \vert \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\Bigg \vert$ и $\Bigg \vert \frac{x_N}{y_n}\Bigg \vert$, то все было бы в порядке, но остается еще $\Bigg \vert -\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Bigg \vert$, у которого в числителе $x_n$, и это все портит. Как от него избавиться?

Как мне только что разъяснили, $-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ это произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, поэтому оно равно бесконечно малой, так что при надлежащем выборе $n$ - выразим этот выбор как $n>N'$, -

$$\Bigg \vert \frac{x_N}{y_n}\Bigg \vert +\Bigg \vert -\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2}.$$

При этом, как доказано у Фихтенгольца, также и $\Bigg \vert \frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l\Bigg \vert<\frac {\varepsilon}{2} при $n>N$, так что при $n>\max(N, N')$

$$ \Bigg \vert \frac{x_n}{y_n}-l\Bigg \vert <\varepsilon.$$

[Vladimir Pliassov]

Padawan в сообщении #1502755 писал(а):

$$ \frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N} $$

Можно так.

$$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$$

-- ограниченная последовательность (имеет пределом $l$, доказано у Фихтенгольца), $\frac{y_N}{y_n}$ -- бесконечно малая, значит,

$$\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$$

-- бесконечно малая (как произведение ограниченной на бесконечно малую).

$\frac{x_N}{y_n}$ -- также бесконечно малая, значит,

$$\frac{x_N}{y_n}-\frac{y_N}{y_n}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$$

(как разность бесконечно малых) есть бесконечно малая, и поэтому

$$\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$$

тоже есть бесконечно малая последовательность. Обозначим ее $z_n$, тогда

$$\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=z_n\Rightarrow \frac{x_n}{y_n}=z_n+\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}.$$

Поскольку сумма двух сходящихся последовательностей с пределами $a$ и $b$ соответственно является сходящейся последовательностью, имеющей своим пределом $a + b$, то

$$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\to \infty}z_n+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=0+l=l,$$

ч.т.д.. Правильно?

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502740 писал(а):

Вы понимаете чем "рассматриваются случаи, когда предел существует" отличается от вопроса "как доказать, что предел существует"? Первое - это допущение/условие при котором теорема верна.

Это понятно.

Odysseus в сообщении #1502740 писал(а):

Второе - требуется доказать, поэтому это уже нельзя называть условием теоремы.

А это, честно говоря, не очень. Не могли бы Вы объяснить подробнее и, может быть, другими словами?

[Odysseus]

У каждой теоремы есть "условия" (aka "начальные данные", "предположения", "допущения"), которые входят в формулировку теоремы. Второй частью формулировки теоремы является ее "заключение" (aka "вывод", "следствие"). Это формулируется как "Если... то....", или "Пусть... тогда..."

В процессе доказательства теоремы из данных условий выводят заключение теоремы. Например, условие: "треугольник прямоугольный", заключение: "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Если ничего заранее не дано, то и доказать ничего нельзя.

Вы не можете сначала сформулировать условия, а потом спрашивать как их доказать, т.е. например после доказательства теоремы Пифагора спрашивать "а как доказать, что треугольник прямоугольный?". А именно это вы и делали в вашем первом же сообщении, на что я несколько раз и указывал.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502654 писал(а):

А предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac {y_n}{x_n}$ при условиях теоремы Штольца может вообще не существовать (упражнение для вас: придумайте в каком случае).

$$x_n=(-1)^n, \; y_n=n,\; \frac {x_n}{y_n}=\frac {(-1)^n}{n} \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n}{y_n}=0.$$

$$\frac {y_n}{x_n}=\frac {n}{(-1)^n}$$

не имеет предела.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov Отлично!

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502980 писал(а):

У каждой теоремы есть "условия" (aka "начальные данные", "предположения", "допущения"), которые входят в формулировку теоремы. Второй частью формулировки теоремы является ее "заключение" (aka "вывод", "следствие"). Это формулируется как "Если... то....", или "Пусть... тогда..."

В процессе доказательства теоремы из данных условий выводят заключение теоремы. Например, условие: "треугольник прямоугольный", заключение: "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Если ничего заранее не дано, то и доказать ничего нельзя.

Вы не можете сначала сформулировать условия, а потом спрашивать как их доказать, т.е. например после доказательства теоремы Пифагора спрашивать "а как доказать, что треугольник прямоугольный?". А именно это вы и делали в вашем первом же сообщении, на что я несколько раз и указывал.

Спасибо!

-- 27.01.2021, 18:52 --

Odysseus в сообщении #1502983 писал(а):

Vladimir Pliassov Отлично!

Спасибо! Не могли бы Вы взглянуть на эти два доказательства?

сообщении #1502883"

сообщении #1502929"

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502654 писал(а):

если $y_n \to \infty$ при $n \to \infty$, то наличие предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n-y_N}$ равносильно наличию предела $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}$.

Не могли бы вы показать, как это доказывается? Дело в том, что это, по-моему, могло бы быть завершающим этапом доказательства теоремы Штольца, предыдущей частью которого было бы:

$$\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}=\frac{x_n}{y_n-y_N}-\frac{x_N}{y_n-y_N} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow \frac{x_n}{y_n-y_N}=\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}+\frac{x_N}{y_n-y_N}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n-y_N}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_N}{y_n-y_N}=l+0=l.$$

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1502984 писал(а):

Не могли бы Вы взглянуть на эти два доказательства?

сообщении #1502883
"

сообщении #1502929
"

Преобразования там вроде бы правильные, но только нужно учитывать, что говорить про последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ что она стремится к $l$ это некоторый сленг и интуитивный образ, которые при формальном и строгом доказательстве нужно выражать в терминах $\varepsilon$ и подходящего $N$, как это и делается в доказательстве Фихтенгольца, которое я вам в очередной раз рекомендую наконец внимательно и полностью разобрать. Вы лучше сначала приведите его (с вашими комментариями и подробностями, если хотите их добавить) и спросите все ли вы поняли правильно, чем продолжать искать альтернативные варианты...

Что ведь такое $N$ в этом выражении? Вы его заранее не знаете. Оно зависит от $\varepsilon$, поскольку определяется только для выбранного произвольного $\varepsilon$ и разное для разных $\varepsilon$ если мы хотим, чтобы выполнялось $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}$. Поэтому формально здесь нельзя говорить про "последовательность" и какой-то "предел" у нее. В любой последовательности мы должны знать значение каждого члена, а здесь такого нет. А если мы возьмем какой-то фиксированный $N$, то для него $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}$ для всех $\varepsilon$ уже не будет выполняться.

Выражение $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ играет чисто вспомогательную роль, чтобы от него перейти к $\vert \frac {x_n}{y_n}-l {\vert}<\varepsilon$ При этом $\frac {x_n}{y_n}$ уже "нормальная" последовательность в том смысле, что ее члены не зависят от произвольного $\varepsilon$, и значит про нее мы уже можем говорить, что она стремится к $l$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1502995 писал(а):

Не могли бы вы показать, как это доказывается?

См. выше. Это все доказывается только через подбор подходящего $N$ для каждого $\varepsilon$, а не просто через значки пределов.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1502999 писал(а):

$\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}$. Поэтому формально здесь

то есть относительно $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$?

Odysseus в сообщении #1502999 писал(а):

нельзя говорить про "последовательность" и какой-то "предел" у нее.

Если это оттого, что $x_n, y_n$ это не конкретные, а общие обозначения последовательностей, то то же самое и с $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ и $\frac{x_n}{y_n}$.

Или это из-за фиксированного $N$?

То есть $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ и $\frac{x_n}{y_n}$ это последовательности, а $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ нет? Но если взять $x_N=a, \; y_N=b$ ($a, b$ фиксированы), то разве

$$\frac {x_n-a}{y_n-b}$$

не будет последовательностью?

Odysseus в сообщении #1502999 писал(а):

В любой последовательности мы должны знать значение каждого члена, а здесь такого нет.

Почему в $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ мы не можем знать значение каждого члена? Ведь $N$ фиксировано, хотя и в зависимости от $\varepsilon/2$.

Если же мы не можем знать значение каждого члена оттого, что $x_n, y_n$ это не конкретные, а общие обозначения последовательностей, то то же самое и с $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ и $\frac{x_n}{y_n}$.

[Odysseus]

Придется снова несколько раз повторять одно и то же.

Vladimir Pliassov в сообщении #1503013 писал(а):

то есть относительно $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$?

Да

Vladimir Pliassov в сообщении #1503013 писал(а):

Если это оттого, что $x_n, y_n$ это не конкретные, а общие обозначения последовательностей

Нет, не из-за этого. Здесь мы знаем значение каждого члена последовательности при каждом $n$. Повторите еще раз понятие "последовательности".

Vladimir Pliassov в сообщении #1503013 писал(а):

то то же самое и с $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ и $\frac{x_n}{y_n}$.

Нет, не то же самое, и по той же причине что указана выше. Повторите еще раз понятие "последовательности".

Vladimir Pliassov в сообщении #1503013 писал(а):

Или это из-за фиксированного $N$?

Vladimir Pliassov в сообщении #1503013 писал(а):

То есть $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ и $\frac{x_n}{y_n}$ это последовательности, а $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ нет? Но если взять $x_N=a, \; y_N=b$ ($a, b$ фиксированы), то разве

$$\frac {x_n-a}{y_n-b}$

не будет последовательностью?

Так в том же и дело, что если $N$ фиксировано, то $\vert \frac {x_n-x_N}{y_n-y_N}-l {\vert}<\frac{\varepsilon}{2}$ для произвольного $\varepsilon$ выполняться не будет. Значит такая последовательность при фиксированном $N$ не будет стремиться к $l$. Перечитайте еще раз мое сообщение выше и повторите понятие "сходимости". Нам нужна не любая последовательность, а та, которая сходится к $l$

Vladimir Pliassov в сообщении #1503013 писал(а):

Почему в $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ мы не можем знать значение каждого члена? Ведь $N$ фиксировано, хотя и в зависимости от $\varepsilon/2$.

Вы не понимаете, что слова "фиксировано" и "в зависимости от" противоречат друг другу?

И поскольку вы продолжаете настаивать, что $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$ стремится к $l$, то напишите, в полном и аккуратном виде,
- определение общей последовательности $f(n)$
- определение того, что $f(n)$ стремится к $l$ при $n \to \infty$?
- следуя из предыдущего, доказательство того, что последовательность $\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}$, по вашему мнению, стремится к $l$