Суммы степеней и устойчивые распределения

[alisa-lebovski]

Известно, что если распределение имеет степенной хвост с показателем $0<\alpha<1$, то для суммы независимых случайных величин верно

$$n^{-1/\alpha}\sum_{i=1}^n X_i\stackrel{d}{\to}\xi,\quad n\to\infty,$$

где $\xi$ - $\alpha$-устойчивая случайная величина. Отсюда следует, что для $\lambda,\mu\ge 1$ и положительных случайных величин верно

$$n^{-\lambda/\alpha}\sum_{i=1}^n X^\lambda_i\stackrel{d}{\to}\xi_1,\quad n^{-\mu/\alpha}\sum_{i=1}^n X^\mu_i\stackrel{d}{\to}\xi_2,\quad n\to\infty,$$

где $\xi_1$ и $\xi_2$ - $\alpha/\lambda$- и $\alpha/\mu$-устойчивые величины. Но верно ли и как показать, что

$$\left(n^{-\lambda/\alpha}\sum_{i=1}^n X^\lambda_i, n^{-\mu/\alpha}\sum_{i=1}^n X^\mu_i\right)\stackrel{d}{\to}(\xi_1,\xi_2),\quad n\to\infty,$$

то есть что существует совместное распределение? Если бы речь шла о независимых суммах, то понятно, но тут суммы берутся по степеням одних и тех же величин $X_i$. И если бы сходимость была не слабая, а по вероятности или почти наверное, тоже понятно. Пыталась через характеристические функции, но непонятно как быть со степенями, в смысле нелинейности.

[alisa-lebovski]

Рассмотрим это в терминах совместной характеристической функции $f_n(t,s)$. Могут существовать пределы $f_n(t,0)$ и $f_n(0,s)$, но не существовать предела $f_n(t,s)$, при $n\to\infty$.

[vicvolf]

Кстати сумма последовательности независимых случайных величин, даже в случае, когда каждая из них принимает не более двух значений, не всегда имеет предельное распределение. Об этом есть лемма у Кубика.