Унитарная матрица преобразования в 3D

[ilghiz]

Спасибо большое, StaticZero за советы!

С никнеймом - разобрался и поправил.

С нормой тут вот в чем дело. Мне надобно сравнивать получаемые трансформации друг с другом и выполнять кластеризацию и всякую другую статистику - а именно метод опорных векторов на набор трансформаций напускать.

Можно саму трансформацию представить в виде матрицы (9 чисел) плюс движение (3 числа). Можно немного сократить, представив трансформацию набором пар синусов и косинусов, тогда всего будет 9 чисел. Матрицу трансформаций представлять в виде самих углов - нельзя, ибо если у нас будет две трансформации со близкими углами, но углы лежат по разную сторону от $-\pi$ и $+\pi$, то метод опорных векторов разнесет их далеко друг от друга, а по сути это очень схожие трансформации.

Я понимаю, что тут уже на спичках экономия, так как размерность с 9 чисел на точку теоретически можно уронить до 6 или 7, тоже хочется это успешно пройти, так как удобное распределение может повлиять на точность работы метода опорных векторов.

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1502639 писал(а):

Или меньше?

Да, действительно. Конечно меньше, раз делим на $n$. Значит должно быть вообще хорошо (по крайней мере в случаях, когда ошибки ведут себя близко к предположению).

ilghiz в сообщении #1502672 писал(а):

Скажите, пожалуйста, а есть ли какое-то представление матрицы поворотов с не большим числом переменных $g$, чтобы любое расстояние векторов $g$ по $l_2$-норме не сильно отличалось от сравнения либо векторов, составленных из элементов самих матриц, или из пар синус-косинус?

Собирался предложить axis-angle, где единичный вектор оси вращения умножается на угол, но с нормой будет плохо, потому что повороты с углами, близкими к $\pi$, имеют далёкие друг от друга представления. Можно попробовать сделать из матрицы поворота (единичный) кватернион, но там тоже есть проблема, хотя и куда меньше: отличающиеся знаком кватернионы задают одно и то же вращение, так что может быть придётся считать минимум из расстояний между кватернионами $q_1, q_2$ и $q_1, -q_2$.

Хотя вообще единичные кватернионы, если их рассматривать как четырёхмерные векторы, образуют трёхмерную сферу, так что для них естественно брать мерой отличия угол между одним и другим (обычным образом через скалярное произведение, и тут заодно можно убрать разницу из-за знаков, беря модуль скалярного произведения). Но это же арккосинус считать, может оказаться дорого (хотя можно просто вычесть тот модуль скалярного произведения из единицы и уже будет не очень дурная метрика — 0 для совпадающих с точностью до знака кватернионов и 1 для ортогональных).

Или если взять $q_1^{-1} q_2 = \overline{q_1} q_2$ (потому что единичные), это даст кватернион, соответствующий вращению $R_1^{-1} R_2$, и из того кватерниона можно например выделить угол поворота, что тоже скажет, насколько далеко одно вращение от другого. Этот угол получается как двойной арккосинус первой компоненты кватерниона, и мы пришли к тому же углу, который я предлагал абзацем выше (только в два раза больше). Так что проще будет считать тот, а то в произведении кватернионов будет вычисление трёх ненужных нам компонент.

[ilghiz]

Спасибо большое, arseniiv, за советы!!!

arseniiv в сообщении #1502716 писал(а):

Хотя вообще единичные кватернионы...

точно!!! То, что надо. Не занимался я геометрией, а в линейной алгебре кватернионы очень редко используются и, поэтому, про них-то подзабыл.

Сегодня попробовал, похоже три компоненты нормированного кватерниона - именно то, что мне и нужно. СПАСИБО ОГРОМНОЕ!!!

[arseniiv]

Пожалуйста.

Если вдруг задача когда-нибудь сменит размерность, то для двумерного случая место кватернионов займут комплексные числа (это наверно и так очевидно, но для полноты, если кто-то мимо будет проходить, пусть будет), а в четырёхмерном — пары кватернионов, а вот в больших размерностях может быть проще удариться в общую конструкцию с алгеброй Клиффорда, и там будет много считать. А в размерностях 2, 3, 4 всё довольно спокойно.