Кривая, заданная параметрическими уравнениями

[Ёж]

В одном пособии написано, что кривая, заданная параметрическими уравнениями

$$ \begin{cases}x=t^2+4t+2,\\ y=t^2+4t-7,\end{cases} $$

является прямой $y=x-9$. У меня получается не прямая, а луч $y=x-9$, $x\geq -2$. Действительно ли опечатка в пособии или мой ответ не верный?

[Pphantom]

По идее, ответ зависит от того, какие значения может иметь $t$. Если $t \in \mathbb{R}$, то правы вы, если $t \in \mathbb{C}$ - пособие.

[Ёж]

Pphantom в сообщении #1502152 писал(а):

По идее, ответ зависит от того, какие значения может иметь $t$. Если $t \in \mathbb{R}$, то правы вы, если $t \in \mathbb{C}$ - пособие.

В примере сказано, что определить вид кривой, заданной уравнением $z=t^2+4t+2+i(t^2+4t-7)$. В таких примерах же имеется ввиду. что $t \in \mathbb{R}$?

[Pphantom]

Ёж в сообщении #1502154 писал(а):

В примере сказано, что определить вид кривой, заданной уравнением $z=t^2+4t+2+i(t^2+4t-7)$. В таких примерах же имеется ввиду. что $t \in \mathbb{R}$?

Почему? Такое "предполагается по умолчанию" в ситуации, когда про комплексные числа еще неизвестно (и тогда условие обычно излагается в той форме, в которой вы написали его в первом сообщении темы). А тут буквально подчеркнуто, что комплексные числа - это норма, оснований считать, что $t$ не является комплексным, нет.

[ShMaxG]

Простите, а что такое кривая $z(t)$ для комплексных $t$? Разве есть такое определение?

[Pphantom]

ShMaxG в сообщении #1502156 писал(а):

Простите, а что такое кривая $z(t)$ для комплексных $t$? Разве есть такое определение?

Понятие "графического представления комплексного числа" встречается довольно часто, так что формулировка, конечно, кривовата, но вполне однозначно понимаема.

[ShMaxG]

Pphantom
Не понял Ваш ответ, при чем тут графическое представление комплексного числа? Кривые определяются как отображения из подмножества $\mathbb{R}$.

[Pphantom]

ShMaxG, ну можно было попросить найти геометрическое множество точек на комплексной плоскости, задаваемых таким-то выражением для параметра, принадлежащего такому-то множеству. Условие стало бы корректнее, но совсем не факт, что авторы пособия, которое читает Ёж, заинтересованы в этом.

[nnosipov]

В пособии по алгебраической геометрии кривые над $\mathbb{C}$ вполне нормально смотрелись бы.

[Padawan]

ShMaxG в сообщении #1502156 писал(а):

Простите, а что такое кривая $z(t)$ для комплексных $t$? Разве есть такое определение?

Я когда узнал, что римановы поверхности называются алгебраическими кривыми, сначала был шокирован удивлен. Потом привык, а потом мне это даже понравилось Параметр-то один. Пусть хоть $t\in \mathbb F_q$. Все равно кривая.

[svv]

Padawan в сообщении #1502165 писал(а):

Параметр-то один.

А когда параметр не один? Функцию $n$ вещественных аргументов, например, легко трансформировать в функцию одного векторного аргумента из $\mathbb R^n$.