2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Распределение решений линейной системы
Сообщение20.01.2021, 11:04 
Добрый день!
Допустим, дана система:
$$\dot{x}=Ax,\quad t\in [0,t_1], \quad x(0)\in X^0=\{x^0\in \mathbb{R}^n: \|x^0\|\leq1 \}.$$
Возник следующий вопрос. Предположим, что мы взяли равномерное распределение точек начального множества. Как определить, будет ли равномерным распределение концевых точек траекторий?

Если использовать метод простого проецирования на сферу, т.е. описать единичный куб вокруг сферы единичного радиуса, на котором равномерно сгенерировать точки, а затем нормировать полученные векторы, то получим допустимый набор начальных значений для исходной системы. Решением системы выступает $x(t)=e^{At}x^0$. Но как связать первое и второе между собой...
Рассмотрим одномерный случай при $A=1$ и $X^0=\{x^0\in \mathbb{R}: |x^0|\leq 1\}$. В этом случае $x(x^0)=e^{t_1}\cdot x^0$. Если случайная величина $X^0$ имеет равномерное распределение, т.е.
$$p_{X^0}(x^0)=\begin{cases}
\frac{1}{2},&\text{если $x^0\in (-1,1)$;}\\
0,&\text{если $x^0\notin (-1,1)$,}
\end{cases}$$
то плотность распределения $$p_{X}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2e^{t_1}},&\text{при $x\in (-e^{t_1},e^{t_1})$;}\\
0,&\text{вне интервала $(-e^{t_1},e^{t_1})$.}
\end{cases}$$
по свойству $p_Y(y)=p_X[g(y)]|g'(y)|=p_X(x)|\frac{dx}{dy}|$
В итоге имеем равномерное распределение.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2021, 12:25 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- в условии распределение именно "некоторое", никакие дополнительные условия на него не налагаются?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение30.01.2021, 16:08 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение30.01.2021, 16:44 
Аватара пользователя
Во многомерном случае не должно быть сжатий и растяжений с разными коэффициентами.
Действительные части всех собственных значений $A$ должны быть равны.

 
 
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение30.01.2021, 16:58 
alisa-lebovski в сообщении #1503405 писал(а):
Во многомерном случае не должно быть сжатий и растяжений с разными коэффициентами.
Действительные части всех собственных значений $A$ должны быть равны.

alisa-lebovski, спасибо. А если распределение начального множества не так важно, а важно, чтобы конечное было равномерным?
И может кто-то подскажет что почитать на эту тему.

 
 
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение30.01.2021, 17:01 
Аватара пользователя
ziv в сообщении #1503407 писал(а):
А если распределение начального множества не так важно, а важно, чтобы конечное было равномерным?
Надо взять преобразование в обратную сторону - $e^{-At}$.

 
 
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение02.02.2021, 12:02 
А какая литература есть про многомерные распределения? В сторону практики (примеров) больше.

 
 
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение03.02.2021, 21:07 
Аватара пользователя
Я спутала, извините. Распределение по-любому переходит из равномерного в равномерное, если матрица невырожденная. Потому что якобиан постоянный. Только область, где оно будет, меняется.

Нашла, например - https://elib.spbstu.ru/dl/2/3058.pdf/download/3058.pdf

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group