2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распределение решений линейной системы
Сообщение20.01.2021, 11:04 


11/07/19
11
Добрый день!
Допустим, дана система:
$$\dot{x}=Ax,\quad t\in [0,t_1], \quad x(0)\in X^0=\{x^0\in \mathbb{R}^n: \|x^0\|\leq1 \}.$$
Возник следующий вопрос. Предположим, что мы взяли равномерное распределение точек начального множества. Как определить, будет ли равномерным распределение концевых точек траекторий?

Если использовать метод простого проецирования на сферу, т.е. описать единичный куб вокруг сферы единичного радиуса, на котором равномерно сгенерировать точки, а затем нормировать полученные векторы, то получим допустимый набор начальных значений для исходной системы. Решением системы выступает $x(t)=e^{At}x^0$. Но как связать первое и второе между собой...
Рассмотрим одномерный случай при $A=1$ и $X^0=\{x^0\in \mathbb{R}: |x^0|\leq 1\}$. В этом случае $x(x^0)=e^{t_1}\cdot x^0$. Если случайная величина $X^0$ имеет равномерное распределение, т.е.
$$p_{X^0}(x^0)=\begin{cases}
\frac{1}{2},&\text{если $x^0\in (-1,1)$;}\\
0,&\text{если $x^0\notin (-1,1)$,}
\end{cases}$$
то плотность распределения $$p_{X}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2e^{t_1}},&\text{при $x\in (-e^{t_1},e^{t_1})$;}\\
0,&\text{вне интервала $(-e^{t_1},e^{t_1})$.}
\end{cases}$$
по свойству $p_Y(y)=p_X[g(y)]|g'(y)|=p_X(x)|\frac{dx}{dy}|$
В итоге имеем равномерное распределение.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2021, 12:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22806
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- в условии распределение именно "некоторое", никакие дополнительные условия на него не налагаются?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.01.2021, 16:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22806
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение30.01.2021, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1075
Во многомерном случае не должно быть сжатий и растяжений с разными коэффициентами.
Действительные части всех собственных значений $A$ должны быть равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение30.01.2021, 16:58 


11/07/19
11
alisa-lebovski в сообщении #1503405 писал(а):
Во многомерном случае не должно быть сжатий и растяжений с разными коэффициентами.
Действительные части всех собственных значений $A$ должны быть равны.

alisa-lebovski, спасибо. А если распределение начального множества не так важно, а важно, чтобы конечное было равномерным?
И может кто-то подскажет что почитать на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение30.01.2021, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1075
ziv в сообщении #1503407 писал(а):
А если распределение начального множества не так важно, а важно, чтобы конечное было равномерным?
Надо взять преобразование в обратную сторону - $e^{-At}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение02.02.2021, 12:02 


11/07/19
11
А какая литература есть про многомерные распределения? В сторону практики (примеров) больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение решений линейной системы
Сообщение03.02.2021, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1075
Я спутала, извините. Распределение по-любому переходит из равномерного в равномерное, если матрица невырожденная. Потому что якобиан постоянный. Только область, где оно будет, меняется.

Нашла, например - https://elib.spbstu.ru/dl/2/3058.pdf/download/3058.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group