По Гине

[daogiauvang]

1. Дать определение предела функции $f(x) $при $ x \to \infty$ по Гейне. Проиллюстрировать графически. Доказать теорему о пределе сложной функции (композиции), имеющей передел в точке.

[Бодигрим]

Дык это классические факты из матана - откройте ваш учебник или конспект и посмотрите. В чем вопрос-то?

[daogiauvang]

Мне было трудно, Помогите мне
Доказать теорему о пределе сложной функции (композиции), имеющей передел в точке.
Ясно что
$ \lim\limits_{ x \to x_0} f(x)=a$ and $ \lim\limits_{ x \to a} g(x) =b$
доказать, что $ \lim\limits_{ x \to x_0} g(f(x))=b$

[Бодигрим]

Откройте Фихтенгольц или практически любой другой учебник по матану. В этой теореме нужно расписать пределы по определению и вложить один в другой, если неформально.

[GAA]

daogiauvang писал(а):

Доказать теорему о пределе сложной функции (композиции), имеющей передел в точке. Ясно что $ \lim\limits_{ x \to x_0} f(x)=a$ and $ \lim\limits_{ x \to a} g(x) =b$
доказать, что $ \lim\limits_{ x \to x_0} g(f(x))=b$

Как я понял:
Пусть $ \lim\limits_{ t \to t_0} f(t)=a$ и $ \lim\limits_{ x \to a} g(x) =b$, тогда существует $ \lim\limits_{ t \to t_0} g(f(t))$ и он равен $b$.

Это ложное утверждение. В качестве контрпримера к приведенному утверждению можно рассмотреть упражнение 607 из книги Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М., 1990.

Формулировку и доказательство теоремы о пределе композиции (в терминах предела функции по базе) можно найти в книге Зорич В.А. Математический анализ. Том 1. В издании 1997 см. Гл. III, §2 n.4, b (Предел композиции функции).

daogiauvang, исправте, пожалуйста, ошибку в заголовке темы.