Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501529 писал(а):

а о какой полноте может идти речь, если пространство не метрическое?

Существование точной верхней грани у ограниченного множества формулируется в терминах порядка. В зависимости от способа построения вещественных чисел, оно может выводиться из полноты, или же полнота выводиться из него.
Точное утверждение, видимо, такое: пусть $(X, <)$ - упорядоченное множество, изоморфное (как упорядоченное множество) $\mathbb R$. Тогда в $X$ выполнена лемма Гейне-Бореля.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1501530 писал(а):

упорядоченное множество, изоморфное (как упорядоченное множество) $\mathbb R$.

То есть имеющее то же кардинальное число? (полагаю, что это критерий изоморфизма упорядоченных множеств, просто хочу уточнить независимо от темы)

mihaild в сообщении #1501530 писал(а):

Существование точной верхней грани у ограниченного множества формулируется в терминах порядка. В зависимости от способа построения вещественных чисел, оно может выводиться из полноты, или же полнота выводиться из него.

Я понял, тут та же история. Формулируется в терминах порядка, а легче доказывается с привлечением метрики.
Прикольно вообще-то. Я так понимаю, что это в целом оправдывает введение метрики и других отображений -- с помощью них проще доказываются вещи, сложно доказуемые в исходных терминах. Например, в линале (с которым я пока лучше знаком) некоторые общие свойства матриц доказываются в терминах отображений евклидовых пространств, то есть с привлечением скалярного произведения (нормальные операторы, самосопряженные и прочее). А иначе зачем вводить новые, эээ, законы в пространствах, если не для того, чтобы их лучше изучить?

mihaild в сообщении #1501530 писал(а):

В зависимости от способа построения вещественных чисел, оно может выводиться из полноты, или же полнота выводиться из него.

Получается, возможно, при некоторой базовой аксиоматике полнота и ЛГБ будут эквивалентны?

[kmpl]

artempalkin в сообщении #1501529 писал(а):

Тогда я несколько не понимаю вашей претензии по поводу того, что метрики в $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$ разные.

Я лишь внес небольшое уточнение, никаких претензий)) Я уверен, что Вы и без меня знаете все это, но на всякий случай уточню. Если $(M, \rho)$ - метрическое пространство, то метрика $\rho$ по определению задана на $M^2$. Т.е. если рассматривать вещественные и рациональные числа как метрические пространства $(\mathbb{R}, \rho_1)$ и $(\mathbb{Q}, \rho_2)$ то метрики $\rho_1$ и $\rho_2$ будут разные хотя бы потому, что они заданы на разных множествах ($\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{Q}^2$ соответственно).

artempalkin в сообщении #1501529 писал(а):

Если $\mathbb{Q}$ не пространство само по себе,

$\mathbb{Q}$ вполне себе пространство.

artempalkin в сообщении #1501529 писал(а):

тогда метрику в нем можно рассматривать только как метрику некоторого подмножества $\mathbb{R}$, то есть метрику $\mathbb{R}$.

Метрика в $\mathbb{R}$ является функцией, заданной на $\mathbb{R}^2$. Поэтому метрика рациональных чисел уж никак не может быть метрикой $\mathbb{R}$.

[artempalkin]

kmpl в сообщении #1501534 писал(а):

Я уверен, что Вы и без меня знаете все это, но на всякий случай уточню.

В целом знаю, конечно, но я не профессиональный математик и знания мои ограничены.

kmpl в сообщении #1501534 писал(а):

Метрика в $\mathbb{R}$ является функцией, заданной на $\mathbb{R}^2$. Поэтому метрика рациональных чисел уж никак не может быть метрикой $\mathbb{R}$.

Я понял вас, тут вопрос нюансов терминологии. С формальной точки зрения метрика - функция, заданная на некотором множестве, и тогда, если мы рассматриваем подмножество этого множества ($\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ же подмножество $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$), то вроде как это уже другая функция, потому что другая область определения и значений.

Хотя в матане, если мы берем некоторую функцию и рассматриваем ее значения на подмножестве мы обычно не говорим, что это другая функция и нужно срочно менять название :) Но в целом я вас понимаю.

Как тогда сказать правильно? Сужение метрики $\mathbb{R}$ на $\mathbb{Q}$?

[kmpl]

artempalkin в сообщении #1501538 писал(а):

Сужение метрики $\mathbb{R}$ на $\mathbb{Q}$?

Да, так можно. Первоначально все начиналось с фундаментальности и того, что она не зависит от объемлющего пространства. Я всего лишь хотел сказать, что последовательности рациональных чисел могут рассматриваться как фундаментальные относительно метрики в $\mathbb{Q}$. Т.е. представьте, что $\mathbb{R}$ пока вообще не определено. А фундаментальные последовательности рациональных чисел уже есть.

[artempalkin]

kmpl в сообщении #1501540 писал(а):

Первоначально все начиналось с фундаментальности и того, что она не зависит от объемлющего пространства.

А, ну это да, это понятно. Просто когда "объемлющее" пространство такое все хорошее и полное, грех это не использовать.

[DeBill]

artempalkin
По исходной задаче: когда я первый раз читал курс теории меры, мне этот пример не понравился, и я его переделал - с целью упрощения формулировки - так: пусть ${\bf P}$ - полукольцо полуинтервалов на полуинтервале $[0,1)$ (оно уже было до этого рассмотрено), и ${\bf P}_{\mathbb{Q}}=\{P\cap \mathbb{Q}: P \in {\bf P}\}$ - полукольцо (проверить!) на $\mathbb{Q}\cap [0,1)$ с мерой $\mu$, $\mu([a,b)\cap\mathbb{Q})=b-a$. Является ли эта мера сигмааддитивной? Больше я так не делал....

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501532 писал(а):

То есть имеющее то же кардинальное число?

Нет (и лучше говорить просто "равномощное", кардинальные числа без необходимости ИМХО привлекать не стоит).
Упорядоченное множество $(X, <_X)$ изоморфно $\mathbb R$ как упорядоченное множество, если существует биекция $f: \mathbb R \to X$, такая что $a < b \leftrightarrow f(a) <_X f(b)$ (то есть биекция сохраняет порядок).

artempalkin в сообщении #1501532 писал(а):

Получается, возможно, при некоторой базовой аксиоматике полнота и ЛГБ будут эквивалентны?

Какие-то дополнительные свойства нужны - $(0, 1)$ и $\mathbb R$ изоморфны как упорядоченные множества и как топологические пространства (собственно топология на них порождается интервалами), но второе полно, а первое - нет. Хотя лемма Гейне-Бореля выполнена для обоих.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1501559 писал(а):

Нет (и лучше говорить просто "равномощное", кардинальные числа без необходимости ИМХО привлекать не стоит).

Я имел в виду "ординальное число", конечно. Редко употребляю эти термины и поэтому оговорился.

mihaild в сообщении #1501559 писал(а):

Какие-то дополнительные свойства нужны - $(0, 1)$ и $\mathbb R$ изоморфны как упорядоченные множества и как топологические пространства (собственно топология на них порождается интервалами), но второе полно, а первое - нет. Хотя лемма Гейне-Бореля выполнена для обоих.

Оххх, все больше отдаляются понятия выполнения ЛГБ и полнота... я уж начал думать об их эквивалентности...

-- 17.01.2021, 15:12 --

DeBill в сообщении #1501548 писал(а):

Больше я так не делал....

А почему? :) В плане, что это не упрощение, а наоборот усложнение? :)

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501563 писал(а):

Я имел в виду "ординальное число", конечно

А ординалы тут вообще не при чем, $\mathbb R$ не вполне упорядочено.

artempalkin в сообщении #1501563 писал(а):

Оххх, все больше отдаляются понятия выполнения ЛГБ и полнота

Более того, гипервещественные числа полны, но аналог леммы Гейне-Бореля в них не выполнен.
Насколько я понимаю, если у нас есть сложение, согласованное с порядком (т.е. если $a \geqslant b$, $c \geqslant d$, то $a + b \geqslant c + d$), группа архимедова (т.е. $a > 0 \rightarrow \forall b \exists n\, n \cdot a > b$), то лемма Гейне-Бореля равносильна полноте.

[DeBill]

artempalkin в сообщении #1501563 писал(а):

А почему?

Ну - когда Вы ответите на тот вопрос - станет понятно....

[artempalkin]

DeBill
Учитывая, что отдельные точки вроде бы не будут элементами множества, наверное, мера будет сигма-аддитивной... но как это доказать...

[DeBill]

artempalkin в сообщении #1501734 писал(а):

отдельные точки вроде бы не будут элементами множества,

Да, в этом и проблема.

artempalkin в сообщении #1501734 писал(а):

наверное, мера будет сигма-аддитивной.

Но тогда сработает конструкция лебегова продолжения меры, и мера продолжится на точки, и опять станет плохо. Так что - нет, не будет. Но как это доказать непосредственно - с учетом того, что пример появился до конструкции продолжения?

[artempalkin]

DeBill в сообщении #1501735 писал(а):

Но тогда сработает конструкция лебегова продолжения меры, и мера продолжится на точки, и опять станет плохо. Так что - нет, не будет.

К этому мне придется вернуться, когда я пойму, что значит лебегово продолжение меры :)

DeBill в сообщении #1501735 писал(а):

Но как это доказать непосредственно - с учетом того, что пример появился до конструкции продолжения?

По идее через контрпример (или, наверное, в данном случае просто пример), то есть найти такое счетное число множеств, которое объединением дает некоторое множество, а вот сумма ряда их мер не дает меру этого множества (или даже расходится). Но где взять такой пример...

Мне кажется, что какой-то нюанс может скрываться в том, что часть наших "полуинтервалов" на самом деле является "интервалами" (когда они начинаются с иррационального числа).

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501811 писал(а):

найти такое счетное число множеств, которое объединением дает некоторое множество, а вот сумма ряда их мер не дает меру этого множества

Да, так. Подсказка: в качестве этого множества можно вообще взять все рациональные числа нашего полуинтервала.

artempalkin в сообщении #1501811 писал(а):

часть наших "полуинтервалов" на самом деле является "интервалами" (когда они начинаются с иррационального числа)

А вот так быть не может - между этим иррациональным числом и нашим рациональным началом было бы еще какое-то рациональное число...