Почему вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения?

[Viatcheslav1]

Здравствуйте.
Объясните, пожалуйста, почему вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения тела. Не могу этого понять, потому что в данном направлении не происходит никакого движения. Скорость есть, а движения тела нет. Все прочитанные мной материалы, например, методичка Томского политехнического института, не дают объяснения, а сводятся к фразе: "Удобно ввести dφ - вектор элементарного поворота тела, численно равный dφ и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора dφ и направление вращения связаны «правилом буравчика»)", но не отвечают на поставленный вопрос.
Заранее благодарю.

[Pphantom]

Viatcheslav1 в сообщении #1501373 писал(а):

Все прочитанные мной материалы, например, методичка Томского политехнического института, не дают объяснения

Почему же? Дают, более того, вы его процитировали:

Цитата:

Удобно ввести $d\varphi$ - вектор элементарного поворота тела...

Так удобно описывать угловые скорости, это вполне достаточное основание.

[arseniiv]

Viatcheslav1
Это просто людям или в некотором роде лень писать сильно больше, или они боятся, что читателей запутают ещё больше. На самом деле угловая скорость — бивектор, который проще всего представить как ориентированную площадку с площадью, равной модулю угловой скорости, и расположенную в плоскости вращения. Разумеется, если мы введём бивекторы, надо будет объяснять операции с ними и другими величинами и всё такое, так что часто, пользуясь трёхмерностью пространства, вместо них рассматривают их сопряжение Ходжа — просто векторы. Для этого приходится дополнительно задавать ориентацию всего пространства, и когда мы этого не хотим делать, выходят псевдовекторы, про которые вы наверно слышали. На самом деле большинство традиционно псевдовекторных величин, если мы возьмём пространство размерности другой, чем 3, псевдовекторами уже представлять не получится — в двумерии бивектору сопряжён псевдоскаляр, а в четырёхмерии — псевдо-бивектор (и начиная с четырёхмерия нам потому уже придётся разбираться с бивекторами, потому что сопряжение Ходжа ничего не упрощает).

Что же делать с бивекторами и как их грамотно себе представить, чтобы не сделать неправильных выводов — довольно долгая история, можете для начала поискать по форуму.

[warlock66613]

Viatcheslav1 в сообщении #1501373 писал(а):

Не могу этого понять, потому что в данном направлении не происходит никакого движения.

С движением в каком-то направлении связана именно скорость, а не угловая скорость. Почему вектор скорости (обычной, линейной) направлен именно в направлении движения, а не куда-то ещё? Напрамер, не перпендикулярно направлению движения? Очень просто: потому что нас интересует именно направление движения, и мы хотим его закодировать математически. И оказывается, что есть удобный способ это сделать: ввести вектор скорости, который направлен по направлению движения. Если б мы решили характеризовать направление движения перепендикулярным к этому направлению вектором, мы бы не смогли по такому вектору понять как именно движется тело: ведь в трёхмерном пространстве есть много разных направлений, перпендикулярных одному вектору. Поэтому разумный вариант один: характеризовать направление движения с помощью вектора, направленного в этом направлении. А вот если мы рассмотрим движение на плоскости, то там уже можно было бы использовать и такую вот странную "перпендикулярную" скорость вместо обычной.

А теперь рассмотрим вращение в трёхмерном пространстве. Как закодировать математически ориентацию этого вращения? Один из способов — вектор, направленный вдоль оси вращения. Так и получается вектор угловой скорости.

Подитоживая, ответ на ваш вопрос такой: нет причины, почему направление вектора угловой скорости или скорости непременно должно совпадать с направлением какого-либо движения. Всё что требуется от такого вектора — чтобы он однозначно кодировал такое направление или направления. Вектор угловой скорости с этим отлично справляется: зная его можно найти линейную скорость любой точки вращающегося тела.

[Viatcheslav1]

Большое спасибо всем ответившим - действительно стало понятнее. В общем, "нет причины, почему направление вектора угловой скорости или скорости непременно должно совпадать с направлением какого-либо движения. Всё что требуется от такого вектора — чтобы он однозначно кодировал такое направление или направления" совпадало с моими догадками, но хотелось получить объяснения от экспертов.
Ещё раз благодарю.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1501381 писал(а):

Подитоживая, ответ на ваш вопрос такой: нет причины, почему направление вектора угловой скорости или скорости непременно должно совпадать с направлением какого-либо движения. Всё что требуется от такого вектора — чтобы он однозначно кодировал такое направление или направления.

Всё же есть причина, почему псевдовектор угловой скорости перпендикулярен плоскости вращения.

[Утундрий]

Viatcheslav1 в сообщении #1501401 писал(а):

В общем, "нет причины, почему направление вектора угловой скорости или скорости непременно должно совпадать с направлением какого-либо движения.

Точнее, нет причин им не совпадать.

[Viatcheslav1]

Цитата:

Точнее, нет причин им не совпадать.

Прикольно :)

[warlock66613]

Viatcheslav1, вот, а теперь, когда вы поняли, имейте в виду, что тут есть и более глубокие причины. И в некотором смысле угловая скорость — штука чуть более искусственная, чем обычная скорость. Представьте двухмерных существ, которые пользуются "перпендикулярной" скоростью. И в один прекрасный день они могут всё-таки открыть, что есть обычная "продольная" скорость и она является более естественным способом описания скорости. Так вот и для угловой скорости есть аналогичное более естественное описание, но оно оказывается не вектором, а хитрой штукой, которая называется бивектором. Именно про неё писал выше arseniiv. Но в то время как "перпендикулярной" скоростью пользоваться на самом деле нет смысла — она не имеет никаких преимуществ перед "продольной" скоростью, вектором угловой скоростью пользоваться действительно удобно несмотря на то, что бивектор уголовой скорости — штука по ряду признаков более естественная.

[miflin]

Viatcheslav1
Может рассмотрение частного случая Вам поможет...
Представьте.
Река в северном полушарии течет вдоль меридиана с юга на север.
Какая-то выделенная масса воды обладает линейной скоростью $V_1$,
направленной вдоль меридиана (эта скорость обеспечивается "уклоном"),
и линейной скоростью $V_2$, направленной вдоль параллели и связанной с вращением Земли.
Cкорость $V_2$ определяется угловой скоростью вращения Земли
и радиусом параллели, на которой находится выделенная масса воды, т.е. $V_2=\omega r$.
По мере продвижения этой массы на север неизбежно должна уменьшаться $V_2$,
т. к уменьшается радиус параллели $r$.
А уменьшение скорости требует силы. Эта сила называется сила Кориолиса.
И вычисление величины и направления силы Кориолиса выражается с помощью формулы,
в которой угловая скорость определена именно как вектор, перпендикулярный плоскости вращения.

Вот тебе и первая выгода. (с)
И далее "выгодам" несть числа.

P.S. Погуглите "сила Кориолиса". Эта сила, разумеется, проявляет себя не только
при течении рек. Реки - это частный случай.

[Viatcheslav1]

Спасибо ещё раз! Признаюсь, что я избегал использования слова "искусственная", чтобы не навлечь гнева радикально настроенных участников. Теперь всё окончательно встало на свои места. Ничего плохого, конечно, в использовании искусственно созданных векторов нет - просто понятная математическая модель.
Вопрос, кстати, возник при самостоятельном повторении курса математики, а не физики, поэтому более глубокие знания уровня сопряжений Ходжа, мне пока не нужны. Достаточно понимания самой математической модели.

[warlock66613]

Viatcheslav1, тут тонкая вещь: с одной стороны искусственная, с другой стороны не более искусственная, чем всё остальное. В общем, я рекомендую так: когда начинаете думать, что есть принципиальная разница между "естественной" скоростью и "искусственной" угловой скоростью, читайте мой первый пост, а когда понимаете, что разницы нет, читайте второй.

[Viatcheslav1]

Цитата:

P.S. Погуглите "сила Кориолиса". Эта сила, разумеется, проявляет себя не только
при течении рек. Реки - это частный случай.

Это та, из-за которой мы тогда проиграли Русско-японскую войну? Да уж...
Тут и гуглить не нужно.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Viatcheslav1 в сообщении #1501419 писал(а):

из-за которой

Кхе-кхе...

[epros]

Viatcheslav1 в сообщении #1501373 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения тела.

Если Вас не устраивают простые объяснения, то я могу дать более витиеватое математическое (хм, всё же не настолько витиеватое, как дал arseniiv). Не знаю, насколько Вы сможете его понять, но будет, по крайней мере, о чём задуматься.

Итак, угловая скорость - производная угла поворота по времени. Значит ноги растут от того, как описывается поворот на малый угол. Как известно, поворот на малый угол - это линейное преобразование, матрица которого записывается как $I+dA$, где $I$ - единичная матрица, а $dA$ - некая мало отличающаяся от нулевой антисимметричная матрица, в которой и закодированы все индивидуальные особенности малого поворота. То, что антисимметричная матрица $3 \times 3$ содержит 3 независимые компоненты, как и вектор в трёхмерном пространстве, уже наводит на мысли о том, что малый поворот можно закодировать вектором. И способ такого кодирования есть. Если ввести величину, $e^{ijk}$, которая антисимметрична по отношению к перестановкам любых двух из трёх индексов $i$, $j$ и $k$, пробегающих значения $1,2,3$, причём $e^{123}=1$, то вектор $d\alpha^i = \frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^3 \sum\limits_{k=1}^3 e^{ijk} da_{jk}$, где $da_{jk}$ - компонента матрицы $dA$, оказывается состоящим в точности из тех же трёх компонент, что и матрица $dA$.

Эти манипуляции показывают, что малый поворот (а значит и угловую скорость) можно сопоставить вектору только в трёхмерном пространстве. Например, в двумерном пространстве он опишется одним числом, а в четырёхмерном - шестью числами, что не даёт возможности описать их векторами, у которых, соответственно, 2 и 4 компоненты.