Аффинная связность

[ErVynShred]

Здравствуйте, решил обратиться, т.к. уже давно не могу понять такую тему, как ковариантная производная, а именно сам смысл аффинной связности, что она связывает. Я видел множество пояснений, заключавшихся в том, А.С. помогает, как бы, связать несколько касательных пространств между собой, т.е. например связать касательные пространства вдоль одной кривой, чтобы ввести операцию ковариантного дифференцирования, параллельного переноса.
Первый член в ковариантной производной, например, векторного поля это просто частная производная этого поля по набору координат, а второй это координата поля с символом Кристоффеля. Геометрический образ, как я понял, это что если в одной точке поверхности - многообразия задан базис, лежащий в касательном к этой точке пространстве, имеет один вид, т.е. например, угол между базисными векторами прямой, то уже пусть даже в бесконечно мало удалённой точке базис имеет, пусть и немного, но уже другой вид, угол не сохраняется, это понятно, ведь для каждой точки своё касательное пространство, что вызвано кривизной; но как эта аффинная связность связывает эти касательные пространства и позволяет ввести данную операцию ковариантного дифференцирования?

[пианист]

ErVynShred в сообщении #1500643 писал(а):

как эта аффинная связность связывает эти касательные пространства

Задаемся вопросом, какой касательный вектор $dr(x + \delta x)$ в близкой точке $x + \delta x$ равен касательному вектору $dr(x)$ в точке $x$. Ясно, что а) вопрос достаточно решить для базисных векторов $\frac{\partial}{\partial x^i}$, б) в самом общем случае будем иметь некоторую линейную зависимость
$\frac{\partial}{\partial x^i} (x + \delta x) = \frac{\partial}{\partial x^i} (x) + \delta \frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{\partial}{\partial x^i} (x) + \Gamma^k_{ji}\delta x^j \frac{\partial}{\partial x^k}$,
$\Gamma^k_{ji}$ как раз и связывает касательные пространства в точках $x$ и $x + \delta x$.

ErVynShred в сообщении #1500643 писал(а):

и позволяет ввести данную операцию ковариантного дифференцирования

$\delta(T^i \frac{\partial}{\partial x^i}) = \delta T^i \frac{\partial}{\partial x^i} + T^i \delta(\frac{\partial}{\partial x^i}) = \frac{\partial T^i}{\partial x^j} \delta x^j \frac{\partial}{\partial x^i} + T^i \Gamma^k_{ji} \delta x^j \frac{\partial}{\partial x^k}$
Как-то так.

[ErVynShred]

Теперь хотя бы смысл стал понятен. Т.е. $\Gamma^k_{ji}$ является как коэффициентом связности, так и разложения по базису, например: пусть задана поверхность $r = r \left( x^1,x^2 \right)$
Тогда $r_{1} = \frac{\partial r}{\partial x^1}$ , а $r_{2} = \frac{\partial r}{\partial x^2}$
теперь возьмём, например, $r_{ij} = \frac{\partial^2 r}{\partial x^i \partial x^j}$
Тогда $\frac{\partial^2 r}{\partial x^i \partial x^j} = \frac{\partial^2 r^k}{\partial x^i \partial x^j}r_{k} = \Gamma^k_{ij}r_{k}$. Мы как бы задаём поверхность уравнением, зависящим от переменных, и, дифференцируя это уравнение по конкретной переменной, мы находим как изменяется эта поверхность в определённом направлении, т.е. у нас получается касательный базисный вектор в касательном, к некоторой точке, пространстве, в которой изменение и рассматривается, я нашёл этот пример в книге Новикова, Тайманова, только вот я не понял, почему рассматривается $r_{ij}$, мы дифференцируем уравнение поверхности дважды и в результате получаем вектор , лежащий примерно посередине, между $r_{1}$ и $r_{2}$? А затем раскладываем этот вектор $\frac{\partial^2 r}{\partial x^i \partial x^j}$ по базисным $r_{1}$ и $r_{2}$, только ещё в разложении присутствует нормальный вектор. но если мы изучаем внутренние свойства, то его можно не рассматривать. Я правильно понимаю?

[пианист]

ErVynShred в сообщении #1500807 писал(а):

я нашёл этот пример в книге Новикова, Тайманова

Какой параграф, раздел параграфа, тж номер формулы (если есть)?

[ErVynShred]

Параграф 3.4 "Основные уравнения теории поверхностей", пункт первый - деривационные уравнения, формулы - все, до фразы " эти величины называются символами Кристоффеля."

[пианист]

ErVynShred в сообщении #1500807 писал(а):

Тогда $\frac{\partial^2 r}{\partial x^i \partial x^j} = \frac{\partial^2 r^k}{\partial x^i \partial x^j}r_{k} = \Gamma^k_{ij}r_{k}$.

А где Вы там такое соотношение нашли?

ErVynShred в сообщении #1500807 писал(а):

почему рассматривается $r_{ij}$

Речь о вещах, связанных с кривизной, поэтому рассматриваются вторые производные (понятно, что кривизна связана со второй производной? это существенный момент).

ErVynShred в сообщении #1500807 писал(а):

дифференцируем уравнение поверхности дважды и в результате получаем вектор , лежащий примерно посередине, между $r_{1}$ и $r_{2}$

Если "посередине" это "раскладывается по", то нет, в разложении будет еще и нормаль (о чем Вы же дальше и сами пишете), она, собс-но, и определяет кривизну.

ErVynShred в сообщении #1500807 писал(а):

Я правильно понимаю?

Не могу сказать ;))
Но данный раздел учебника посвящен не символам Кристоффеля.

[ErVynShred]

Извиняюсь за $r_{ij}$), ведь это связано с кривизной, т.к. вторую производную можно интерпретировать как вектор ускорения, вектор кривизны.
Бреда наговорил, тогда, если не трудно, можете подсказать, где говорится о символах Кристоффеля, их смысле и выводе, помимо коэффициентов разложения, просто я читал до этого учебник Мищенко, Фоменко и там не нашёл ничего внятного о них, также как и о, например, аффинной связности, понятно только то, что символы Кристоффеля это её координатное выражение. Есть ли какие - нибудь учебники, лучше освещающие данный вопрос, если вы их знаете?

[epros]

ErVynShred в сообщении #1500643 писал(а):

сам смысл аффинной связности, что она связывает

А чем Вас не устраивает "смысл", что связность определяет параллельный перенос?

ErVynShred в сообщении #1500643 писал(а):

позволяет ввести данную операцию ковариантного дифференцирования?

Соответственно, ковариантная производная величины - это скорость её изменения относительно перенесённого значения.

[пианист]

ErVynShred в сообщении #1500824 писал(а):

где говорится о символах Кристоффеля, их смысле и выводе

Я лично читал тему по Дубровин, Новиков, Фоменко (мне зашло), но там, наверное, не сильно отличается от Новиков, Тайманов?
Попробуйте помедитировать вопрос: как можно продифференцировать величину, имеющую значения в касательном расслоении, по координатам произвольной поверхности? У Вас, по идее, должно возникнуть недоумение "а как я сопоставлю вектор в точке $(x_1, x_2)$ с вектором в точке $(x_1 + \delta x_1, x_2 + \delta x_2)$? они же в разных пространствах!". Собс-но, связность это и есть простой и естественный ответ на данный вопрос..
И еще, немного забегая вперед: связность НЕ является атрибутом метрики, метрика и связность суть независимые понятия, их завязывают между собой соотношением ковариантного постоянства ${g_{ij}}_{,k} =0$.

[ErVynShred]

То есть, пусть есть гладкое многообразие, в каждой его точке существует касательное пространство $T_{p}X$ (или просто слой $\beta$), объединение всех этих пространств $\bigcup\limits_{p}^{N}T_{p}X$ составляет пространство касательного расслоения, тогда между двумя точками из двух разных касательных пространств, существует кривая $\gamma \left( t \right)$ в базе расслоения, соединяющая их, и каждой такой кривой, можно назвать её путём, сопоставляется параллельное перенесение слоя(касательного пространства) $\beta$ из начала кривой - в её конец, и таким образом как раз можно ввести операцию и параллельного переноса, и ковариантного дифференцирования.

[пианист]

Да

[Slav-27]

Именно так: связность в касательном расслоении сопоставляет каждому гладкому пути $\gamma:[0,a]\to M$ на многообразии гладко зависящее от $t$ семейство взаимно-однозначных линейных отображений $P^t_\gamma:T_{\gamma(0)}M\to T_{\gamma(t)}M$ -- операторов параллельного переноса; $P^0_\gamma$ -- тождественное отображение. (Под гладкой зависимостью здесь имеется в виду, что путь $P^t_\gamma v$, который проходит при параллельном переносе любой вектор $v$ из $T_{\gamma(0)}M$ -- гладкий путь в $TM$; $0\leqslant t\leqslant a$.)

Ковариантная производная восстанавливается по операторам параллельного переноса: $\nabla_vX=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}(P_\gamma^t)^{-1}(X(\gamma(t)))$, где $\gamma$ -- любой путь с начальным вектором скорости $v$.


И наоборот. Пусть для каждого пути $\gamma:[0,a]\to M$ выбрано биективное линейное отображение $P_\gamma:T_{\gamma(0)}M\to T_{\gamma(a)}M$. Для $t\in[0,a]$ обозначим $P_\gamma^t$ отображение, соответствующее пути $\gamma\Big|_{[0,t]}$, и $P'_\gamma^t$ отображение, соответствующее оставшемуся куску пути, то есть соответствующее пути $[0,a-t]\ni u\mapsto \gamma(u+t)$. Предположим, что

• для фиксированных $\gamma$ и $v\in T_{\gamma(0)}M$ путь $t\mapsto P_\gamma^tv$ -- гладкий путь $[0,a]\to TM$,
• для любого $\gamma$ и любого $t\in[0,a]$ выполняется $P_\gamma=P'_\gamma^tP_\gamma^t$,
• ковариантная производная $\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}(P_\gamma^t)^{-1}(X(\gamma(t)))$ вдоль любого пути зависит только от вектора скорости в начальной точке, причём эта зависимость линейная.

Тогда это можно задать некоторой однозначно определённой связностью.

[ErVynShred]

Что ж, спасибо вам! Наконец - то понял эту тему.

[Утундрий]

Добавлю для полноты ощущений немного столь ненавистного многим координатного подхода.

Стимулом введения сабджа является вселенская трагедия по поводу, что вот $v^{\mu '} = x_{,\alpha }^{\mu '} v^\alpha $, но при этом к сожалению $v_{,\nu'}^{\mu '} = \left( {x_{,\alpha }^{\mu '} v^\alpha } \right)_{,\beta } x_{,\nu '}^\beta = x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta v_{,\beta }^\alpha + x_{,\alpha \beta }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta v^\alpha \ne x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta v_{,\beta }^\alpha $. Кошмар! Как дальше жЫть?!

А вот как. Руками соорудим конструкцию $v_{;\nu }^\mu \equiv v_{,\nu }^\mu + \Gamma _{\nu \alpha }^\mu v^\alpha $ и тупо навяжем желанное $v_{;\nu'}^{\mu '} = x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta v_{;\beta }^\alpha$. Что даст заодно и правила преобразования этих $\Gamma $.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1500977 писал(а):

столь ненавистного многим координатного подхода

Святая троица: координатный подход, голономный базис, риманова аффинная связность.