Какой максимальной массы груз можно подвесить к системе

[letoo]

EUgeneUS в сообщении #1500704 писал(а):

Вот и хорошо. Есть небольшой нюанс в подобных случаях.
Финальная формула - это, конечно, замечательно.
Но лучше все таки проверять, что $n$ получается целое, или почти целое, которое хорошо округляется до целого.

Хорошо, спасибо.

[StepV]

EUgeneUS в сообщении #1500689 писал(а):

Никакого решения не получилось вообще, так как количество частей угадано не верно.

Хочу обратить ваше внимание на ваше сообщение. Задача решена, надеюсь вы убедились, что количество частей было угадано правильно?

[EUgeneUS]

StepV в сообщении #1500712 писал(а):

Задача решена, надеюсь вы убедились, что количество частей было угадано правильно?

Чёй-та?
В правильном решении резинку резали на четыре части. А изначально ТС угадыаал две части.

[StepV]

EUgeneUS в сообщении #1500722 писал(а):

В правильном решении резинку резали на четыре части. А изначально ТС угадыаал две части.

Да! Это я действительно ошибся. Я не внимательно прочитал решение ТС. Вот в этом случае

letoo в сообщении #1500672 писал(а):

Если их соединить параллельно друг другу, то общая жёсткость системы $k_1=4k$

Посчитал, что имеется ввиду 4 резинки. А здесь оказывается произошло непонятное удвоение для двух.

[EUgeneUS]

StepV в сообщении #1500725 писал(а):

А здесь оказывается произошло непонятное удвоение для двух.

Здесь-то понятное удвоение. Если резинку режем на $n$ частей и соединяем их параллельно, то жесткость получившейся системы равна $k_f= n^2 k$

[StepV]

EUgeneUS в сообщении #1500726 писал(а):

Здесь-то понятное удвоение. Если резинку режем на $n$ частей и соединяем их параллельно, то жесткость получившейся системы равна $k_f= n^2 k$

Тогда для меня непонятен пост https://dxdy.ru/post1500703.html#p1500703 в части

letoo в сообщении #1500703 писал(а):

получается $n=\frac{F}{kl}$ значит после подстановки в результирующую $\frac{F^2}{kl}=Mg$, отсюда$ M=\frac{F^2}{klg}$

Тогда должно быть $n^2=\frac{F}{kl}$ . Где одно $n$ сократилось?

[EUgeneUS]

StepV в сообщении #1500730 писал(а):

Где одно $n$ сократилось?

Для максимальной силы для результирующей системы:

1) $F_1 = nF$ ($F$ - максимальная сила для исходной резинки). Потому что
а) Прочность на разрыв не зависит от длины
б) Груз висит на $n$ резинках.

2) $F_1 = k_1 l = n^2kl$ - потому что результирующая система - это резинка с жесткостью $n^2 k$, которая рвётся при удлинении $l$

Приравниваем, получаем $nF = n^2 kl$, или $n = \frac{F}{kl}$

[Umka2000]

Где-то надо ещё отметить, что длина кусочков всех резинок должна быть одинакова, иначе это не верно:
1) $F_1 = nF$

[StepV]

EUgeneUS в сообщении #1500771 писал(а):

результирующая система - это резинка с жесткостью $n^2 k$, которая рвётся при удлинении $l$

EUgeneUS в сообщении #1500722 писал(а):

В правильном решении резинку резали на четыре части.

letoo в сообщении #1500703 писал(а):

получается $n=\frac{F}{kl}$ значит после подстановки в результирующую $\frac{F^2}{kl}=Mg$, отсюда$ M=\frac{F^2}{klg}$

В задаче много было неясного, поэтому решил разобрать ее очень подробно. В результате вроде бы полная ясность, но не сходится с ответом. Посмотрите, может где-то у меня и есть алгоритмическая ошибка. Расчеты выкладываю все. Чтобы легче было ориентироваться в задаче. Такое ощущение, что неправильный ответ в самой задаче.

$\textsc{Текст исходной задачи}$
Длинная однородная резинка с коэффициентом жесткости $k =12\textsc{Н/м}$ подчиняется закону Гука, пока сила упругости в ней не превышает значения $\textsc{10 Н}$. Какой максимальной массы груз можно подвесить к системе, полученной из соединенных параллельно друг с другом частей разрезанной исходной резинки, если под действием этого груза система растягивается упруго на $\textsc{20 см}$. Ускорение свободного падения равно $10 \textsc{м/с}^2$ Ответ выразите в $\textsc{кг}$ и округлите до целых.

Рассчитаем для целой резинки, половинки, одной третьей и одной четвертой резинки коэффициенты упругости и максимальную длины растяжения.

Таблица 1. Ординарные отрезки резинки.
\begin{tabular}{|l|c|c|l|l|} \hline Резинка & $F_{mx}$ & n & Коэффициент k & Макс. растяжение. $L_{mx}= \frac F {k \cdot n}$ \\ \hline Целая & 10H & 1 & $k=12$ Н/м & $= 10/12 = 0,833$ м $ = 83$ см \\ \hline $\frac 1 2$ резинки & 10H & 2 & $ k_2= k \cdot n = 24 $ Н/м & $ = 10/24 = 0, 416м = 42$ см \\ \hline $\frac 1 3$ резинки & 10H & 3 & $ k_3= k \cdot n = 36 $ Н/м & $ = 10/36 = 0, 277м = 28$ см \\ \hline $\frac 1 4$ резинки & 10H & 4 & $ k_4= k \cdot n = 48 $ Н/м & $ = 10/48 = 0, 208м = 21$см \\ \hline \end{tabular}

Вариантов три.
Первый. Считать, что резинка разрезана на две части.
Второй Считать, что резинка разрезана на три части
Третий. Считать, что резинка разрезана на четыре части.
При разрезании на большее количество частей, невозможно выполнить условие задачи, что система из n-резинок упруго растягивается на $20 \textsc{см}$.

Разберемся, что подразумевается под фразой: “под действием этого груза система упруго растягивается на $20 \textsc{cм}$”. Рассчитаем растягивающую силу на $0,2 \textsc{м}$ для всех вариантов. Под $n$ будем понимать число отрезанных кусков резинки. Коэфф. упругости системы берем рассчитанный из таблицы вверху.

Таблица 2. Сила, требующаяся для растяжение системы резинок на 20 см.
\begin{tabular}{|l|c|c|l|l|} \hline Вариант & $l$ & $n$ & Коэффициент k & $F$ – сила упр. \\ \hline $\frac 1 2$ резинки & $0,2$ м & 2 & $k_2= k \cdot n = 24 $ Н/м & $n \cdot k_2 \cdot l = 2 \cdot 24 \cdot 0,2 = $ 9,6 Н \\ \hline $\frac 1 3$ резинки & $0,2$ м & 3 & $k_3 = k \cdot n = 36 $ Н/м & $n \cdot k_3 \cdot l = 3 \cdot 36 \cdot 0,2 = $ 21,4 Н \\ \hline $\frac 1 4$ резинки & $0,2$ м & 4 & $k_4=k \cdot n =48 $ Н/м & $n \cdot k_4 \cdot l = 4 \cdot 48 \cdot 0,2 =$ 38,4 Н \\ \hline \end{tabular}

Из таблицы 2 видно, что нам подходит только первый вариант с двумя отрезками резинки, сила его растяжения на $20 \textsc{cм}$, приблизительно соответствует силе $F$, заданной в задаче. Для трех и четырех отрезков сила будет большей.
Рассмотрев выше три варианта, можно понимать фразу “под действием этого груза система растягивается упруго на 20 см” так, что под действием силы $F$, заданной в задаче, как максимальной для ординарной резинки, система из n-резинок растягивается на 20 см. Под это условие подходит только первый вариант с двумя половинками резинки.
Тогда переходим к решению задачи.

1. Первым действием вычисляем, на сколько кусков разрезана резинка:
Для этого преобразуем равенство $ F = n \cdot k_1 \cdot l=n^2 \cdot k \cdot l$, где $F= 10$ Н/м, $l = {0,2} $ м,$ k=12$ Н/м
и получаем $ n = \sqrt{\frac F {k \cdot l}} = 2,04 \approx 2$ отрезка.

2. Зная число отрезков резинки (2) и $L_{mx} = 42$ см, получаем критическую силу для системы:
$F_{mx} = n^2 \cdot k \cdot L_{mx} = 4 \cdot 12 \cdot 0,42 =\textsc{20,16} \approx \textsc{20}$ Н.

3. Теперь узнаем максимальную массу для системы резинок:
$F_{mx}= M_{mx} \cdot g$ ; отсюда $ M_{mx} = \frac {F_{mx}} g = 2 \textsc{кг}$ .

Масса равна $M=2$ кг, что противоречит ответу в задаче, где масса равна 4 кг.
Неправилен ответ в самой задаче или неправильно подсчитана жесткость отрезков резинки?

[oleg_2]

StepV в сообщении #1501451 писал(а):

Разберемся, что подразумевается под фразой: “под действием этого груза система упруго растягивается на $20 \textsc{cм}$”.

Фраза:

StepV в сообщении #1501451 писал(а):

Какой максимальной массы груз можно подвесить к системе, полученной из соединенных параллельно друг с другом частей разрезанной исходной резинки, если под действием этого груза система растягивается упруго на $\textsc{20 см}$.

"Какой максимальной массы груз...если под действием этого груза...упруго на $l=20\text{ см}$?"
"максимальной массы...на $l=20\text{ см}$?"

Означает, что каждая из резинок в связке нагружена максимально, т. е. $10 \text{ Н}$.

Задачу можно решить совсем без формул.
Если к исходной резинке приложить силу $10 \text{ Н}$, то она растянется на
$l_m=\frac{F}{k}=\frac{10}{12}=0.8 \text{ м}=80\text{ см}$
При этом половина исходной резинки растянется на $40\text{ см}$, а четвертинка на $20\text{ см}$. Режем резинку на четыре равные части и соединяем параллельно. Сила $40\text{ Н}$, масса $4\text{ кг}$.

[EUgeneUS]

StepV
Вам уже ответил oleg_2.
Ваша основная ошибка в том, что Вы забываете, что речь о максимальном грузе.
Отдельно отмечу, что уже из таблицы 1 видно, что нужно использовать разрезание на четвертинки. Дальше Вас куда-то не туда понесло.

oleg_2 в сообщении #1501498 писал(а):

Задачу можно решить совсем без формул

Решение красивое.

[StepV]

EUgeneUS в сообщении #1501503 писал(а):

Ваша основная ошибка в том, что Вы забываете, что речь о максимальном грузе.

Это не ошибка, а вопрос интерпретации условий задачи. Четко не сказано о том, что отклонение на $20 \textsc{см}$ у системы - это отклонение на критическое расстояние. Сильно сбивает фраза о том, что система гибко растягивается, т.е вроде бы она не на границе упругости.
Получается для своих условий я решил задачу правильно. Единственно, эти условия не соответствуют интерпретации текста задачи большинством.

(Оффтоп)

Плюс. Какие таблицы на LaTex сбацал!! Первый раз!

[EUgeneUS]

StepV в сообщении #1501509 писал(а):

Это не ошибка, а вопрос интерпретации условий задачи. Четко не сказано о том, что отклонение на $20 \textsc{см}$ у системы - это отклонение на критическое расстояние.

Это-то как раз сказано (болд мой):

letoo в сообщении #1500672 писал(а):

Какой максимальной массы груз

Впрочем условия задачи действительно не очень корректны, так как в первой части не очень ясно, что происходит, когда сила упругости в исходной резинке превышает 10Н.
Может просто меняется коэффициент упругости и резинку можно нагружать дальше.